谭 军
(重庆师范大学数学学院,重庆 401331)
定义1[1]设E是一致凸Banach空间,C是E的非空子集,称映射T:C→C为非扩张映射,如果对任意的x,y∈C,有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖.
定义2[2]设E是赋范线性空间,C是E的非空凸子集,映射T:C→C,对∀x1∈C,{tn}{sn}⊆[0,1],称迭代序列
为修改的Ishikawa迭代序列.
定义3 设E是Banach空间,C是E的非空子集,α,β是实数,且α<1,β<1,称映射T:C→E为广义α-β-非扩张映射,如果满足
证明 由于T:C→C为广义的 α-β-非扩张映射,对于∀w∈F(T)和∀z∈C,有‖Tnz-w‖2≤α‖Tnz-w‖2+β‖w-z‖2+(1-(α+β))‖z-w‖2.于是(1-α)‖Tnz-w‖2≤(1-α)‖z-w‖2,又因为 α<1,所以,‖Tnz-w‖≤‖z-w‖,从而有
d(xn,F)=0,由式(2)可知
定理3 设E是一致凸Banach空间,C是E的非空闭凸子集,T:C→C是广义α-β-非扩张映像,且{xn}是由修改了的 Ishikawa迭代程序(1)所定义的序列,其中,{tn}{sn}满足条件tn∈[a,b]且sn∈[0,b],或tn∈[a,1]且sn∈[a,b],对某些0<a≤b<1,F(T)非空,则‖Tnxn-xn‖→0(n→∞).
由于
故有
进一步,有
因为
故得到
所以有
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