逆象形：让数学从无形到有形

王海静

【摘 要】数学思想是数学基础知识与数学应用之间的桥梁。模型思想本身的局限性及其在实践中的缺失、学生的认知发展特点等催生了解模思想。将已有抽象的数学概念还原成事物本身，使数学知识具有逆象形性，便于学生理解和接受，这是数学解模思想。

【关键词】逆象形 模型思想 解模 生活原型

逆象形是将抽象的、非物质的、无形的概念还原成事物本身，解模就是这样一个还原的过程。解模是对一些抽象的数学概念、符号、公式等赋予一定的生活意义，使数学通过形象的事物表现出来，让数学学习不但有意义，而且有意思，以促进学生更好地理解并接受。

一、数学模型思想的局限性

模型思想作为一种数学思想，具有高度的概括性、抽象性和工具性。在小学阶段，它的这些特征则难以很好地实现。

1.有雏形而未成型。

小学阶段是数学模型思想形成过程中的初始阶段。如小学阶段的“鸡兔同笼”问题渗透的是二元一次方程的模型思想，“数对”则是学习二维坐标数学模型的初始阶段。其重点是引导学生经历模型的形成过程，使他们在探索的过程中学会思考，无需强求他们非要运用对应的模型思想去解决相关的数学问题。

2.简约而不易理解。

数学模型的简约性是客观存在的，在丰富的数学世界里，蕴涵着变化多样的数学模型，数学教学过程就是把复杂的情境进行分析简化，从而得出简约的数学模型。例如，我们在引导学生充分理解长方形周长概念的基础上，得出简约的数量关系：长方形的周长=长×2+宽×2。部分学生在教师的引导下，甚至还会将数量关系进一步简化为：长方形的周长=（长+宽）×2，可是我们在应用模型的过程中发现，许多学生只是简单生硬地套用，也有学生用自己的方法来解决问题，而对于这些简约、抽象的模型并不热衷。

二、实践中数学模型思想的缺失

数学模型思想的构建固然重要，但由于教师缺乏对模型思想的深入思考，且受教师本身素质的制约，在构建模型的过程中，他们往往过于强调模型的成型，而忽视了小学生的思维特点，致使课堂中学生缺乏应有的数学生活原型，缺乏参与的过程。

1.课堂中学生缺乏对建模情境的想象。

小学生的思维发展以形象性为主，他们无法对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程有清晰、深刻的理解，只能停留在操作表面及对表象进行概括的水平上，不能脱离具体表象形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握数学的模型本质。

例如教学《覆盖的规律》时，教师往往会直接给出模型“总数-每次覆盖的个数+1=得到不同和的个数”，学生按照教师给的模型解决了一个又一个问题，很顺利，结果也很准确。于是我们看到，数学模型成了僵化的、仅供学生机械记忆的材料，学生未经历数学模型的探究、发现、总结、验证等过程，就不能深入地理解，更难以形成自己的知识储备。

2.教师缺乏对模型思想的深入思考。

应试教育使我们急功近利，往往只关注学生的学习结果，而对学生学习的过程重视不够。对教材中隐含的模型思想未做深入的挖掘，使教师对数学模型思想的思考缺失，使得我们的课堂过于形式化，不具备更深刻的品质。教师缺乏对模型思想的思考，只是简单地设计教学过程，目的是教给学生解决问题的技巧，这对学生的成长是不利的。

例如，在教学《认识位置》一课时，学生如果不能经历“第几排第几个”这样一个具体的生活场景，就无法真正理解“数对”，更无法理解抽象的二维坐标模型。在小学阶段，教师无需过多强调抽象的模型，而应注重引导学生经历模型探究的过程。

根据布鲁纳的认知发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个过程中，个体总是要对信息进行整理加工，使其以一种易于掌握的形式加以储存。含糊不清的信息会对新知识产生严重的干扰，给理解、记忆、数学思维及其应用造成极大的困难。所以，适当地解模，将数学信息具体化，有利于学生理解与接受。

三、数学解模的实践性思考

数学模型的形成体现的是数学的简约美，它是一个发现与发展的过程，也是一个应用的过程。数学本身就是对现实生活情境的一种抽象，而数学模型更是经历了多次抽象后的结果。将抽象的模型形成一种数学思想，这与小学生较为形象的思维表象是有一定距离的。在小学阶段，更需要一个生动、活泼的生活场景来帮助学生理解数学。数学模型思想的逆象形转变，可以使数学更贴近小学生的生活经验，这就要求教师要善于将数学模型思想还原成事物本身，使数学问题具有实际意义。

1.在生活情境中丰富模型的外延。

教学《用字母表示数》一课时，许多教师都是用一首有节奏的儿歌引入的，在这首儿歌中，有青蛙的嘴，还有眼睛和腿，又要跳下水，一直念下去，于是在具体的情境中抽象出了规律，并且用简单的字母表示。这个过程就是数学模型的抽象过程，在数学模型的抽象过程中，感受数学模型思想。在教学中，教师只有不断努力缩小“形象思维”和“模型思想”之间的距离，才能使数学模型对学生的发展有真正意义上的促进。

2.将抽象的数学概念还原成事物本身。

数学建模是解决问题时借助模型处理各类问题的方法，是将数学思想应用于理论问题和实践问题的实践。教学《分数的意义》一课， =c（a不能为0），a为什么不能为0，要求学生要会联系除法的意义进行讲解，而现实是学生只是简单地记住了这个知识，并没有真正理解。我们可以将这个抽象的字母公式还原成事物原型，如创设数学模型实验，糖水的含糖率= ，如果糖水的重量为0，则不存在糖水，更谈不上含糖率，所以是没有意义的。这样一个实际的数学模型，给了学生一个深刻而又直观的认识，便于学生理解和接受。

3.肢解模型，让数学从无形到有形。

从根源上来说，数学是有形的，它富含了生活中所有事物的本身，教师要善于引导学生对一些无形的数学概念赋予一定的物质意义。教学“图形与几何”领域的相关内容时，要注意引导学生突破模型的局限性，大胆思考。例如，在学生掌握了长方形、正方形、平行四边形等平面图形面积计算的推导过程及其计算方法之后，教学《圆面积的计算》一课时，我首先安排学生大胆猜想它的面积计算可能会和什么有关，根据以往学过的知识，学生想到了转化的数学思想，推测出可能会与长方形的面积计算有关，再利用教师提供的学具，通过操作研究展开具体的分析，从而找出它们之间内在的联系与规律，最终将圆通过剪、拼得出了近似的长方形，而这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr2。

总而言之，通过解模，有利于促进学生体会实际情景与数学的内在联系，丰富学生学习数学的途径，激活他们再创造数学的浓厚兴趣，也能让学生更加体会到数学与现实社会和生活的联系。

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文一等奖

（作者单位：江苏省东海县石榴中心小学）

【摘 要】数学思想是数学基础知识与数学应用之间的桥梁。模型思想本身的局限性及其在实践中的缺失、学生的认知发展特点等催生了解模思想。将已有抽象的数学概念还原成事物本身，使数学知识具有逆象形性，便于学生理解和接受，这是数学解模思想。

【关键词】逆象形 模型思想 解模 生活原型

逆象形是将抽象的、非物质的、无形的概念还原成事物本身，解模就是这样一个还原的过程。解模是对一些抽象的数学概念、符号、公式等赋予一定的生活意义，使数学通过形象的事物表现出来，让数学学习不但有意义，而且有意思，以促进学生更好地理解并接受。

一、数学模型思想的局限性

模型思想作为一种数学思想，具有高度的概括性、抽象性和工具性。在小学阶段，它的这些特征则难以很好地实现。

1.有雏形而未成型。

小学阶段是数学模型思想形成过程中的初始阶段。如小学阶段的“鸡兔同笼”问题渗透的是二元一次方程的模型思想，“数对”则是学习二维坐标数学模型的初始阶段。其重点是引导学生经历模型的形成过程，使他们在探索的过程中学会思考，无需强求他们非要运用对应的模型思想去解决相关的数学问题。

2.简约而不易理解。

数学模型的简约性是客观存在的，在丰富的数学世界里，蕴涵着变化多样的数学模型，数学教学过程就是把复杂的情境进行分析简化，从而得出简约的数学模型。例如，我们在引导学生充分理解长方形周长概念的基础上，得出简约的数量关系：长方形的周长=长×2+宽×2。部分学生在教师的引导下，甚至还会将数量关系进一步简化为：长方形的周长=（长+宽）×2，可是我们在应用模型的过程中发现，许多学生只是简单生硬地套用，也有学生用自己的方法来解决问题，而对于这些简约、抽象的模型并不热衷。

二、实践中数学模型思想的缺失

数学模型思想的构建固然重要，但由于教师缺乏对模型思想的深入思考，且受教师本身素质的制约，在构建模型的过程中，他们往往过于强调模型的成型，而忽视了小学生的思维特点，致使课堂中学生缺乏应有的数学生活原型，缺乏参与的过程。

1.课堂中学生缺乏对建模情境的想象。

小学生的思维发展以形象性为主，他们无法对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程有清晰、深刻的理解，只能停留在操作表面及对表象进行概括的水平上，不能脱离具体表象形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握数学的模型本质。

例如教学《覆盖的规律》时，教师往往会直接给出模型“总数-每次覆盖的个数+1=得到不同和的个数”，学生按照教师给的模型解决了一个又一个问题，很顺利，结果也很准确。于是我们看到，数学模型成了僵化的、仅供学生机械记忆的材料，学生未经历数学模型的探究、发现、总结、验证等过程，就不能深入地理解，更难以形成自己的知识储备。

2.教师缺乏对模型思想的深入思考。

应试教育使我们急功近利，往往只关注学生的学习结果，而对学生学习的过程重视不够。对教材中隐含的模型思想未做深入的挖掘，使教师对数学模型思想的思考缺失，使得我们的课堂过于形式化，不具备更深刻的品质。教师缺乏对模型思想的思考，只是简单地设计教学过程，目的是教给学生解决问题的技巧，这对学生的成长是不利的。

例如，在教学《认识位置》一课时，学生如果不能经历“第几排第几个”这样一个具体的生活场景，就无法真正理解“数对”，更无法理解抽象的二维坐标模型。在小学阶段，教师无需过多强调抽象的模型，而应注重引导学生经历模型探究的过程。

根据布鲁纳的认知发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个过程中，个体总是要对信息进行整理加工，使其以一种易于掌握的形式加以储存。含糊不清的信息会对新知识产生严重的干扰，给理解、记忆、数学思维及其应用造成极大的困难。所以，适当地解模，将数学信息具体化，有利于学生理解与接受。

三、数学解模的实践性思考

数学模型的形成体现的是数学的简约美，它是一个发现与发展的过程，也是一个应用的过程。数学本身就是对现实生活情境的一种抽象，而数学模型更是经历了多次抽象后的结果。将抽象的模型形成一种数学思想，这与小学生较为形象的思维表象是有一定距离的。在小学阶段，更需要一个生动、活泼的生活场景来帮助学生理解数学。数学模型思想的逆象形转变，可以使数学更贴近小学生的生活经验，这就要求教师要善于将数学模型思想还原成事物本身，使数学问题具有实际意义。

1.在生活情境中丰富模型的外延。

教学《用字母表示数》一课时，许多教师都是用一首有节奏的儿歌引入的，在这首儿歌中，有青蛙的嘴，还有眼睛和腿，又要跳下水，一直念下去，于是在具体的情境中抽象出了规律，并且用简单的字母表示。这个过程就是数学模型的抽象过程，在数学模型的抽象过程中，感受数学模型思想。在教学中，教师只有不断努力缩小“形象思维”和“模型思想”之间的距离，才能使数学模型对学生的发展有真正意义上的促进。

2.将抽象的数学概念还原成事物本身。

数学建模是解决问题时借助模型处理各类问题的方法，是将数学思想应用于理论问题和实践问题的实践。教学《分数的意义》一课， =c（a不能为0），a为什么不能为0，要求学生要会联系除法的意义进行讲解，而现实是学生只是简单地记住了这个知识，并没有真正理解。我们可以将这个抽象的字母公式还原成事物原型，如创设数学模型实验，糖水的含糖率= ，如果糖水的重量为0，则不存在糖水，更谈不上含糖率，所以是没有意义的。这样一个实际的数学模型，给了学生一个深刻而又直观的认识，便于学生理解和接受。

3.肢解模型，让数学从无形到有形。

从根源上来说，数学是有形的，它富含了生活中所有事物的本身，教师要善于引导学生对一些无形的数学概念赋予一定的物质意义。教学“图形与几何”领域的相关内容时，要注意引导学生突破模型的局限性，大胆思考。例如，在学生掌握了长方形、正方形、平行四边形等平面图形面积计算的推导过程及其计算方法之后，教学《圆面积的计算》一课时，我首先安排学生大胆猜想它的面积计算可能会和什么有关，根据以往学过的知识，学生想到了转化的数学思想，推测出可能会与长方形的面积计算有关，再利用教师提供的学具，通过操作研究展开具体的分析，从而找出它们之间内在的联系与规律，最终将圆通过剪、拼得出了近似的长方形，而这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr2。

总而言之，通过解模，有利于促进学生体会实际情景与数学的内在联系，丰富学生学习数学的途径，激活他们再创造数学的浓厚兴趣，也能让学生更加体会到数学与现实社会和生活的联系。

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文一等奖

（作者单位：江苏省东海县石榴中心小学）

【摘 要】数学思想是数学基础知识与数学应用之间的桥梁。模型思想本身的局限性及其在实践中的缺失、学生的认知发展特点等催生了解模思想。将已有抽象的数学概念还原成事物本身，使数学知识具有逆象形性，便于学生理解和接受，这是数学解模思想。

【关键词】逆象形 模型思想 解模 生活原型

逆象形是将抽象的、非物质的、无形的概念还原成事物本身，解模就是这样一个还原的过程。解模是对一些抽象的数学概念、符号、公式等赋予一定的生活意义，使数学通过形象的事物表现出来，让数学学习不但有意义，而且有意思，以促进学生更好地理解并接受。

一、数学模型思想的局限性

模型思想作为一种数学思想，具有高度的概括性、抽象性和工具性。在小学阶段，它的这些特征则难以很好地实现。

1.有雏形而未成型。

小学阶段是数学模型思想形成过程中的初始阶段。如小学阶段的“鸡兔同笼”问题渗透的是二元一次方程的模型思想，“数对”则是学习二维坐标数学模型的初始阶段。其重点是引导学生经历模型的形成过程，使他们在探索的过程中学会思考，无需强求他们非要运用对应的模型思想去解决相关的数学问题。

2.简约而不易理解。

数学模型的简约性是客观存在的，在丰富的数学世界里，蕴涵着变化多样的数学模型，数学教学过程就是把复杂的情境进行分析简化，从而得出简约的数学模型。例如，我们在引导学生充分理解长方形周长概念的基础上，得出简约的数量关系：长方形的周长=长×2+宽×2。部分学生在教师的引导下，甚至还会将数量关系进一步简化为：长方形的周长=（长+宽）×2，可是我们在应用模型的过程中发现，许多学生只是简单生硬地套用，也有学生用自己的方法来解决问题，而对于这些简约、抽象的模型并不热衷。

二、实践中数学模型思想的缺失

数学模型思想的构建固然重要，但由于教师缺乏对模型思想的深入思考，且受教师本身素质的制约，在构建模型的过程中，他们往往过于强调模型的成型，而忽视了小学生的思维特点，致使课堂中学生缺乏应有的数学生活原型，缺乏参与的过程。

1.课堂中学生缺乏对建模情境的想象。

小学生的思维发展以形象性为主，他们无法对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程有清晰、深刻的理解，只能停留在操作表面及对表象进行概括的水平上，不能脱离具体表象形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握数学的模型本质。

例如教学《覆盖的规律》时，教师往往会直接给出模型“总数-每次覆盖的个数+1=得到不同和的个数”，学生按照教师给的模型解决了一个又一个问题，很顺利，结果也很准确。于是我们看到，数学模型成了僵化的、仅供学生机械记忆的材料，学生未经历数学模型的探究、发现、总结、验证等过程，就不能深入地理解，更难以形成自己的知识储备。

2.教师缺乏对模型思想的深入思考。

应试教育使我们急功近利，往往只关注学生的学习结果，而对学生学习的过程重视不够。对教材中隐含的模型思想未做深入的挖掘，使教师对数学模型思想的思考缺失，使得我们的课堂过于形式化，不具备更深刻的品质。教师缺乏对模型思想的思考，只是简单地设计教学过程，目的是教给学生解决问题的技巧，这对学生的成长是不利的。

例如，在教学《认识位置》一课时，学生如果不能经历“第几排第几个”这样一个具体的生活场景，就无法真正理解“数对”，更无法理解抽象的二维坐标模型。在小学阶段，教师无需过多强调抽象的模型，而应注重引导学生经历模型探究的过程。

根据布鲁纳的认知发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个过程中，个体总是要对信息进行整理加工，使其以一种易于掌握的形式加以储存。含糊不清的信息会对新知识产生严重的干扰，给理解、记忆、数学思维及其应用造成极大的困难。所以，适当地解模，将数学信息具体化，有利于学生理解与接受。

三、数学解模的实践性思考

数学模型的形成体现的是数学的简约美，它是一个发现与发展的过程，也是一个应用的过程。数学本身就是对现实生活情境的一种抽象，而数学模型更是经历了多次抽象后的结果。将抽象的模型形成一种数学思想，这与小学生较为形象的思维表象是有一定距离的。在小学阶段，更需要一个生动、活泼的生活场景来帮助学生理解数学。数学模型思想的逆象形转变，可以使数学更贴近小学生的生活经验，这就要求教师要善于将数学模型思想还原成事物本身，使数学问题具有实际意义。

1.在生活情境中丰富模型的外延。

教学《用字母表示数》一课时，许多教师都是用一首有节奏的儿歌引入的，在这首儿歌中，有青蛙的嘴，还有眼睛和腿，又要跳下水，一直念下去，于是在具体的情境中抽象出了规律，并且用简单的字母表示。这个过程就是数学模型的抽象过程，在数学模型的抽象过程中，感受数学模型思想。在教学中，教师只有不断努力缩小“形象思维”和“模型思想”之间的距离，才能使数学模型对学生的发展有真正意义上的促进。

2.将抽象的数学概念还原成事物本身。

数学建模是解决问题时借助模型处理各类问题的方法，是将数学思想应用于理论问题和实践问题的实践。教学《分数的意义》一课， =c（a不能为0），a为什么不能为0，要求学生要会联系除法的意义进行讲解，而现实是学生只是简单地记住了这个知识，并没有真正理解。我们可以将这个抽象的字母公式还原成事物原型，如创设数学模型实验，糖水的含糖率= ，如果糖水的重量为0，则不存在糖水，更谈不上含糖率，所以是没有意义的。这样一个实际的数学模型，给了学生一个深刻而又直观的认识，便于学生理解和接受。

3.肢解模型，让数学从无形到有形。

从根源上来说，数学是有形的，它富含了生活中所有事物的本身，教师要善于引导学生对一些无形的数学概念赋予一定的物质意义。教学“图形与几何”领域的相关内容时，要注意引导学生突破模型的局限性，大胆思考。例如，在学生掌握了长方形、正方形、平行四边形等平面图形面积计算的推导过程及其计算方法之后，教学《圆面积的计算》一课时，我首先安排学生大胆猜想它的面积计算可能会和什么有关，根据以往学过的知识，学生想到了转化的数学思想，推测出可能会与长方形的面积计算有关，再利用教师提供的学具，通过操作研究展开具体的分析，从而找出它们之间内在的联系与规律，最终将圆通过剪、拼得出了近似的长方形，而这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr2。

总而言之，通过解模，有利于促进学生体会实际情景与数学的内在联系，丰富学生学习数学的途径，激活他们再创造数学的浓厚兴趣，也能让学生更加体会到数学与现实社会和生活的联系。

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文一等奖

（作者单位：江苏省东海县石榴中心小学）