基于CVaR的供应链联合促销的回购契约协调研究

代建生，孟卫东

（1.昆明理工大学管理与经济学院，云南昆明650093；2.重庆大学经济与工商管理学院，重庆400030）

基于CVaR的供应链联合促销的回购契约协调研究

代建生1，孟卫东2

（1.昆明理工大学管理与经济学院，云南昆明650093；2.重庆大学经济与工商管理学院，重庆400030）

运用CVaR方法，考察了风险中性的供应商和风险规避的销售商联合促销报童类商品的供应链的回购契约协调问题，从讨论中获得一些管理启示。讨论了既定回购契约下渠道成员的最优决策，并分析了回购契约参数、销售商风险规避系数、商品残值和缺货成本等外生参数对渠道成员决策的影响。研究表明传统回购契约不能完成渠道协调，但引入成本分担机制的回购契约能协调不过于规避风险的供应链；指出商品残值和缺货成本对上述结论没有影响，但它们对契约选择空间和能被回购契约协调的供应链的范围具有重要影响。最后，对文中主要结论进行了数值分析。

供应链；回购契约；联合促销；CVaR

1 引言

有关回购契约能否协调供应链的问题，理论界已进行了大量研究。肖玉明和汪贤裕［1］在边际成本随产量递增的假设下考察了回购契约的协调问题，指出供应商采取的最优回购策略是允许销售商对剩余订货全部按批发价退货。申成霖等［2］研究了一般回购契约、基于差别定价的回购契约和销售回扣契约等三类回购契约，指出在服务水平约束下只有基于差别定价的回购契约可以实现供应链的协调。刘家国和吴冲［3］的研究表明：回购契约能完成渠道协调，回购策略的采用增大了销售商的订货量，且使批发价格低于不采用此策略下的批发价格。Su Xuanming［4］在允许顾客退货的背景下考察了回购契约的协调问题，指出供应商采用回购策略将导致销售商对顾客退货政策的激励扭曲。杜少甫等［5］讨论了零售商的公平关切对回购契约协调性的影响，得到公平关切不影响回购契约协调性的结论。

契约的可协调性通常是基于报童类商品的订购决策问题，影响商品订购决策的因素也会影响契约的可协调性。一般地，渠道成员采取销售促进、广告、人员推销等措施能够增大市场对商品的需求，从而影响商品的订购决策。已有研究表明：存在促销效应时，传统的回购契约不能协调供应链［6］。尽管如此，通过改进回购契约或采取两种及以上的契约组合可完成渠道协调。Taylor［7］的研究表明销售回扣契约和回购契约的组合可以实现渠道协调。Krishnan等［8］考察了需求被观察到之后再采取促销努力的渠道协调问题，并针对不同的信息可得情况，提出了诸如成本分担契约与回购契约的组合、限制性回购契约等多个能实现渠道协调的契约安排。徐最等［9］在考察供应商的订购决策和促销决策的基础上，设计了两种能完成渠道协调的限制性回购契约。姚泽有［10］提出在回购契约的基础上引入回馈与惩罚策略来解决渠道协调问题。

决策者的行为往往表现出某种风险规避的特性［11］。相对于风险中性者，在既定契约安排下，风险规避的销售商订货水平更低［12］。回购契约能否协调风险规避的供应链呢？Gan Xianghua等［13-14］基于下侧风险测度对此问题进行了研究，结论是回购契约并不能协调所有风险规避的供应链。Choi等［15］运用均方分析考察了回购契约的协调问题，研究表明：当渠道成员风险规避时，回购契约并不总能协调供应链。Gan Xianghua等［16］提出了协调风险规避供应链的帕累托有效标准，并讨论了下侧风险规避方法、均方分析方法和期望效用方法下的渠道协调问题。

本文考虑一个风险中性的供应商和风险规避的销售商组建的供应链，供应商和销售商实施联合促销来改善市场需求，以考察促销效应和风险规避对回购契约协调性的影响。本文采用CVaR方法［17-18］来处理销售商的风险规避，在这种方法下，销售商的风险规避程度可由一个系数η来度量。文献［7-9］虽然考察了渠道成员促销下回购契约的协调问题，其中Krishnan等［8］和徐最等［9］还表明引入成本分担机制的回购契约能协调具有促销效应的供应链，但这些文献与本文至少有以下不同之处：第一、上述文献都是在风险中性的假设下进行的研究，在技术上相当于η=1的情形，因而是本文研究的一个特例。特别地，风险中性假设下的回购契约并非总能协调风险规避的供应链，本文研究表明：存在一个临界值，当η小于这一临界值时，回购契约不能协调供应链；当η大于这一临界值时，回购契约能协调供应链，但在这种情形下，也需对适用于风险中性情形的回购契约进行修正。第二、上述文献只考察了销售商的促销努力，而没有讨论渠道联合促销的情形，本文研究指出，在渠道联合促销下，回购契约有助于增进供应商实施促销努力，不仅如此，本文还揭示了如何分担促销成本的管理洞见，这有别于上述研究。

文献［13-16］虽然考察了风险规避供应链的协调问题，但与本文有以下不同：首先，这些文献没有考察销售商的风险规避对渠道成员促销努力以及契约安排的影响，而这正是本文关注的核心问题，本文研究指出：销售商越规避风险，供应商的促销努力就越低，销售商应分摊的供应商的促销成本比例也越低。其次，在分析技术上，本文使用的是CVaR方法，这与上述文献不同。在CVaR方法下，度量决策者的风险规避程度只需使用一个系数η，使得这一方法具有其它方法不具有的优越性。

2 基本假设和问题描述

假设1 供应链由一个供应商和一个销售商构成；供应商风险中性，追求期望收益最大化；销售商风险规避，追求风险价值最大化。

当供应商在某一地区采取独家经销模式，或让同一地区的不同销售商经营差异化较大的商品时，可以忽略销售商之间的竞争行为对渠道成员决策的影响。因此，以供应商为中心的供应链可视为由多个相互独立的子供应链构成，每个子供应链只包含一个供应商和一个销售商［19］。

由于供应商通常面对多个处在不同地区或代理不同品牌的销售商，其面临的市场风险得到有效地分散，在这种情形下供应商的目标通常是追求期望收益最大化。假定销售商是下侧风险规避的，他追求风险价值最大化，其风险价值用CVaR方法来测度。

假设2 商品的生产成本c及市场价格p是外生给定的。

假设3 供应商和销售商采取联合促销行动，商品市场需求既受到渠道成员促销努力的影响，也受到不确定因素的影响。商品需求和促销努力的函数关系为D（eS，eR，ξ）=eS+eR+ξ，其中eS和eR分别为供应商和销售商的促销努力，ξ是随机变量，0≤ξ≤U（U＞0），其分布函数和密度函数分别记为F（ξ）和f（ξ），且对一切ξ∈［0，U］，满足f（ξ）＞0。

假设4 供应商和销售商的促销成本分别为CS（eS）和CR（eR），成本函数关于促销努力是严格凸的、增的且二阶可导的，并满足CS′（0）=CS（0）=CR′（0）=CR（0）=0。

假设5 供应链经营的商品是报童类商品。

当供应链经营季节性商品或需要较长加工时间因而不能紧急供应的商品时，销售商只有一次订购机会，设其订购量为y（y≥0）。如果市场需求小于这个订购量，需求得到满足；如果市场需求大于这个订购量将不能得到满足，最终实现的销售量为min{y，D（eS，eR，ξ）｝。

假设6 供应商和销售商达成以下回购契约（w，b）：供应商以批发价格w向销售商供应商品，并按每单位b的价格回购剩余商品，为了避免订货过度，规定b≤w。为了避免平凡性，还规定c＜w＜p。

假设7 博弈包括两个阶段：博弈的第一阶段，供应商设定回购契约（w，b）；博弈的第二阶段，供应商选择促销努力eS，销售商订购商品，并在商品需求实现前实施促销努力eR。

在既定契约（w，b）下，当渠道成员的策略组合为（y，eS，eR）时，供应商和销售商的利润函数分别记为πS（y，eS，eR）、πR（y，eS，eR）。

供应商面临的问题是：实施最优促销努力来最大化其收益（P1）

在CVaR标准下，销售商的风险价值为［17-18］

其中，E是期望算子，η∈（0，1］是对销售商风险规避程度的度量，后文提及为风险规避系数，η越小，销售商风险规避程度越大。

销售商从其策略可行集中，选择最优策略，以解决以下极大化问题（P2）

其中，geS（v，y，eR）=v+（1/η）E［min（πR（y，eS， eR）-v，0）］=v-（1/η）E［v-（πR（y，eS，eR）］+=v（eS+eR+ξ）+（w

3 模型分析

3

.1 渠道成员的策略分析

首先讨论供应商的策略。在P1中，∂2EπS（y，，这表明销售商的期望收益函数EπS（y，eS，eR）关于eS是严格凹的，其一阶最优条件为：

命题1 在P1中，对销售商的任意策略（y，eR），是供应商最优策略的充要条件是：

命题1刻画了给定销售商策略下，供应商的策略反映，下面考察销售商的最优策略。

引理1 给定（y，eR），有：1）geS（v，y，eR）关于v连续，除了点v=（p-w）y-CR（eR）之外，在整个实数域连续可微；2）存在唯一的v*（y，eR）=（pw）y-CR（eR）使geS（v，y，eR）取极大值。

证明见附录（后文中未给出的证明均列在附录中）。

运用引理1的结论，将式（5）改写为：

由式（7），geS（v*（y，eR），y，eR）关于（y，eR）的Hessian阵为：

H阵是严格负定的，P2的解存在且唯一。由式（7），令∂geS（·）/∂y=0，∂geS（·）/∂eR=0，可得以下结论。

命题2 在P2中，给定供应商的策略eS，（y*，）是销售商的最优订购量和最优促销努力的充要条件是：

命题2刻画了销售商的最优策略。下面利用命题1和2讨论渠道联合促销博弈的均衡问题。

定理1 由P1和P2构成的联合促销博弈存在且仅存在唯一的纳什均衡。

供应商和销售商的联合促销博弈存在一个纳什均衡，而且这个均衡由式（6）、（8）和（9）构成的方程组联合确定。运用简单的等量代换，重写上述方程组如下：

在式（10）中，当b=0时，e*S=0，注意到b=0时回购契约退化为单一价格契约，上述讨论表明在单一价格契约下，供应商不会实施促销努力。因此，在供应商的促销努力影响商品需求的情形下，采取回购策略，不仅可减轻销售商面临的市场风险，激励其加大商品订购量，而且使供应商有激励实施促销努力来改进商品市场需求，以促进最终销售。

定理2的管理意义是明显的。站在供应商的立场，通过调整回购契约参数，就能引导销售商的订购和促销决策按照供应商意欲的方向变化。

证明与定理2的证明相同，略。

定理3表明：要诱使风险规避程度不同的销售商订购等量的商品，需要采取不同的回购策略。

3.2 回购契约的协调问题

在一体化供应链下，给定供应商的策略eS和销售商的策略（y，eR），由式（1）和式（2），整个渠道可实现的总利润为：

证明略。

定理4 传统回购契约不能协调联合促销的供应链。

证明比较式（10）、（12）和式（14）、（16），要使回购契约完成渠道协调，要求b=p，但由b≤w的规定，必然要求w=p。由式（11）和（15），又要求w =c，这与c＜p相矛盾。

由于传统回购契约不能协调联合促销的供应链，下面考虑引入成本分担机制来修正这一契约，即在契约（w，b）的基础上，渠道成员相互分担对方的促销成本。考虑契约（w，b，α，β），供应商（销售商）承担自己促销成本α（β）比例部分，并分摊对方1-β（1-α）比例的促销成本。在这个契约安排下，当供应商采取策略eS且销售商采取策略组合（y，eR）时，供应商和销售商的利润函数分别为πS（y，eS，eR）、πR（y，eS，eR），有：

采用与定理1类似的推导过程，可以表明：在契约（w，b，α，β）下，供应商和销售商的联合促销博弈存在一个纳什均衡，而且这个均衡满足以下关系：

定理5 存在一个临界值ηT=（p-c）/p，当η＜ηT时，契约（w，b，α，β）不能协调渠道联合促销的供应链；当η≥ηT时，存在无穷多个契约（w，b，α，β）能够协调上述供应链，其中契约参数满足以下条件：p-ηp（p-w）/（p-c）=b=αp=（1-ηβ）p，其中0＜b＜p。

定理5刻画了渠道协调能否实现的销售商风险规避程度的临界值ηT，这一临界值可由商品价格和生产成本等参数外生确定。

特别地，η≥ηT及p-ηp（p-w）/（p-c）=b确保了b≤w，注意到单一批发价格不能协调供应链，有0＜b≤w＜p，与b=αp相结合可得α∈（0，1）。由定理5满足的参数条件可推得β=（pw）/（p-c），由c＜w＜p可表明β∈（0，1）。上述讨论的潜在意义是：在渠道联合促销下，只有供应商和销售商相互分担对方的促销成本，回购契约才能协调供应链。让任意一方独自承担自己促销或对方促销的所有成本，比如α=1，或者α=0，供应链的协调都不能实现。注意到在（w，b，α，β）中，当α=1且β=1时，成本分担的契约退化为传统回购契约，前面讨论表明只要α=1或者β=1的契约安排都不能协调供应链，因而传统回购契约不能协调渠道联合促销的供应链，这表明定理4可视为定理5的一个推论。

从供应商的立场来看，定理5的管理启示是：（1）应选择风险规避程度较轻的销售商，否则，即使加大激励强度也不能协调供应链，因为销售商越是风险规避的，其风险补偿的代价越大。（2）当促销努力影响市场需求时，相互分担对方的促销成本有助于增大双方的促销投入，在一定条件下还可实现渠道协调。

推论1 在完成渠道协调的回购契约中，给定批发价格，销售商越风险规避，设定的回购价格应越高，销售商对供应商促销成本的分担比例1-α就越小，而销售商促销成本的分担比例与其风险规避程度无关。

证明：由定理5中回购契约参数满足的条件可推导以下结果：b=p-ηp（p-w）/（p-c），1-α =η（p-w）/（p-c），以及β=（p-w）/（p-c），利用这些结果可完成证明。

推论1中有关回购价格的结论是符合直觉的，销售商越是风险规避的，在既定契约安排下的订购量就越小，通过调增回购价格能引导销售商增大订购量。

假定供应商在不同地区拥有一个当地的销售商，每个地区相当于组建了一个子供应链，这些销售商的风险规避程度可能不同。供应商在全国范围内实施广告促销，销售商在当地开展包括商品陈列、人员推销、销售促进等方式的促销活动。根据推论1，供应商可实行以下促销成本分担政策：对全国各地销售商因促销活动产生的成本，供应商都分担同样的促销成本比例，但对供应商的促销活动产生的成本，则可根据销售商的风险规避程度实施不同的成本分担政策，销售商越是风险规避的，其成本分担比例就越低。

推论2 对风险中性的供应链，成本分担的回购契约（w，b，α，β）能够完成渠道协调，其中契约参数满足p（w-c）/（p-c）=b=αp=（1-β）p。

证明直接由定理5可推得结论。

4 数值分析

在数值分析部分，总是假定CS（eS）=0.025、CR（eR）=0.025，需求分布服从均匀分布U（0，1000），外生变量p=10且c=5。

4.1 回购契约参数和风险规避系数对最优决策的影响分析

表1 批发价格对促销投入和订购量的影响

除了批发价格，回购价格也会影响渠道成员的促销投入和销售商的订购决策。给定参数值w=7、η=0.8，表2反映了渠道成员促销投入和订购量随回购价格的变动情况：供应商的最优促销努力和销售商的最优订购量y*随回购价格的增大而上升，而销售商的促销努力与回购价格无关。当回购价格为零时（在现实中表现为单一价格契约），供应商的最优促销努力等于零，因为无论销售商订购的商品是否能完成销售，都不会影响供应商的收益，而实施促销行为将给供应商带来额外的成本，故其最优策略是不实施促销努力。

表2 回购价格对促销投入和订购量的影响

销售商固有的风险规避偏好使得销售商的订购决策相对于风险中性者更为保守。表3在参数值w =7、b=2下模拟了风险规避系数对促销和订购决策的影响。销售商风险规避程度越大，其订购量越小。由于风险规避销售商订购量的减小，而且销售商的促销努力不受风险规避程度的影响，要完成既定的商品销量只需供应商采取更低的促销努力，因而供应商的促销努力随销售商的风险规避程度的增大而降低。

表3 风险规避对促销投入和订购量的影响

4.2 回购契约协调的数值分析

在参数值p=10和c=5下，由式（14）到（16）可计算出完成渠道协调的最优订购和促销决策=100、=50、y*=650。表4和表5分别在η =0.8和η=0.4下给出了不同契约安排下渠道成员的促销投入和销售商的订购决策。在表4的前五项，渠道成员的促销和订购决策都实现了集中决策下的最优，容易验证回购契约参数满足条件pηp（p-w）/（p-c）=b=αp=（1-ηβ）p且α∈［0，1］、β∈［0，1］以及b≤w。表4的后五项没有完成渠道协调，其契约参数不满足定理5中的条件。数值分析表明：满足定理5条件的契约安排能够协调供应链，且存在多个能协调供应链的契约安排；而不满足定理5条件的契约安排不能协调供应链。

在表5中，没有一个契约安排实现了渠道协调。根据定理5，要完成渠道协调，要求η≥0.5。当η =0.4时，不可能存在一个契约安排满足条件pηp（p-w）/（p-c）=b=αp=（1-ηβ）p且α∈［0，1］、β∈［0，1］以及b≤w，因而没有一个契约安排能协调η=0.4下的供应链。销售商的风险规避是导致渠道协调失效的重要原因，表5中的后五项与表4中的后五项契约安排完全相同，但因销售商风险规避程度不同，供应商的促销努力和订购量存在明显的差异。数值分析表明：在CVaR标准下，引入成本分担机制的回购契约安排并不能协调所有风险规避的供应链，而是存在一个临界值，当销售商的风险规避系数小于这个临界值时，协调供应链的回购契约不存在。

表4 不同契约安排下的促销投入和订购决策（η=0.8）

表5 不同契约安排下的促销投入和订购决策（η=0.4）

5 进一步讨论

前面的研究都是基于以下假设进行的：剩余商品无残余价值，过度需求无缺货成本。一般地，对于季节性商品或短生命周期商品而言，不考虑残余价值和缺货成本是合理的［20］，比如月饼、牛奶等易腐食品。不过在现实中，也存在残余价值和缺货成本不为零的情形，比如流行服饰。那么，商品残值和缺货成本对前文研究结论是否有影响呢，本小节就来讨论这一问题。

设过度需求导致的单位缺货成本为d，商品单位残余价值为s，不失一般性，假定残值小于生产成本，即s＜c。特别地，当b≤s时，销售商不会将商品退回给供应商，此时回购契约相当于单一价格契约。为了记号的简化，令B=max{b，s｝。在契约（w，b，α，β）下，当渠道成员的策略组合为（y，eS，eR）时，供应商和销售商的利润函数分别记为πS（y，eS，eR）、πR（y，eS，eR），有：

在契约（w，b，α，β）下，渠道联合促销博弈存在一个纳什均衡，其均衡策略可由以下条件来刻画：

定理6 销售商的最优订购量随商品残值和缺货成本的上升而增大；供应商的最优促销努力随缺货成本的上升而增大，与商品残值无关；销售商的最优促销努力独立于缺货成本和商品残值。

销售商的最优订购量随商品残值和缺货成本的上升而增大这一结论是符合直觉的，商品残值上升，销售商对商品剩余的担忧减弱，因而有激励增大订购量；而缺货成本的上升，使得销售商更关注商品缺货而不是商品出现剩余，同样增大了销售商订购商品的激励。但奇怪的是，虽然缺货成本和商品残值的改变都会影响销售商的收益，但销售商的最优促销努力独立于缺货成本和商品残值。

缺货成本的变化，将通过改变销售商的订购量对供应商的收益产生影响，从而对供应商的促销努力施加影响。供应商的最优促销努力与商品残值无关，因为当b＞s时，商品残值只与销售商的收益有关，而与供应商的收益无关；而当b≤s时，剩余商品的回购不会发生，回购契约退化为单一的批发价格契约，一旦商品从供应商转移给销售商，供应商就没有激励去实施促销努力来改进市场需求，既然这将增加他的促销成本，但不能为其带来额外的收益。

在一体化供应链下，整个渠道可实现的总利润为：

πSC（y，eS，eR）=p min{y，eS+eR+ξ｝+G（eS，eR）-CS（eS）-CR（eR）-cy

其中，G（eS，eR）=s（y-eS-eR-ξ）+-d（eS+eR+ξ-y）+。

渠道最优策略（yI*，eI*S，eI*R）可由以下条件来刻画：

定理7 存在一个临界值ηT=（p-c+d）/（p -s+d），当η＜ηT时，契约（w，b，α，β）不能协调联合促销的供应链；当η≥ηT时，存在无穷多个契约（w，b，α，β）能够协调上述供应链，其中契约参数满足以下条件：

其中，s＜b＜p。

易验证定理5是定理7的一个特例。比较定理5和定理7可知，虽然商品残值和缺货成本对回购契约能否完成渠道协调的条件以及契约参数相互之间的关系有重要影响，但不改变“通过引入成本分担机制，回购契约能协调具有促销效应供应链”的结论，表明这一结论相对于商品残值和缺货成本是强健的。利用定理7还可以表明，推论1的结论在商品残值和缺货成本存在的情形下仍然成立。尽管如此，存在商品残值时，要求回购价格大于商品残值，即b＞s，这表明商品残值的存在缩小了能完美协调供应链的契约可行空间。

推论3 销售商风险规避的临界值随商品残值和缺货成本的上升而增大。

证明 直接对ηT=（p-c+d）/（p-s+d）求关于s和d的一阶偏导数可完成证明。

推论3表明，商品残值越大，缺货成本越高，能被回购契约协调的供应链就越少，因为只有销售商规避风险程度较轻的供应链才有可能被完美协调。注意到s＜c，有ηT＜1，即风险中性的供应链总能通过回购契约进行协调，这与推论2是一致的。

6 结语

渠道成员的促销努力和风险规避将影响销售商的订购决策，从而对协调供应链的契约安排产生影响。通过考察风险规避供应链的订购和促销决策以及回购契约对此类供应链的可协调性，得到以下研究结论。（1）在既定回购契约下，渠道联合促销博弈存在一个纳什均衡；契约参数的变化对渠道成员的均衡策略有如下影响：批发价格的上升将减小销售商的订购量和渠道双方的促销努力水平，回购价格的上升将增大销售商的订购量和和供应商的努力水平。（2）销售商的风险规避会影响渠道成员的均衡策略选择，并对回购契约安排施加重要影响，当销售商的风险规避系数小于临界值ηT时，回购契约不能协调供应链。（3）在渠道联合促销下，传统回购契约不能协调供应链，尽管如此，通过引入成本分担机制，回购契约能协调η≥ηT的供应链。（4）商品残值和缺货成本对上述结论没有影响，但对契约选择空间和能被回购契约协调的供应链的范围有重要影响：存在商品残值时，只有回购价格大于商品残值的契约安排才是可行的；没有商品残值和缺货成本时，一切η≥（p-c）/p的供应链都能被回购契约协调，而存在商品残值和缺货成本时，只有η≥（p-c+ d）/（p-s+d）＞（p-c）/p的供应链才有可能被回购契约协调。

本文的研究揭示了以下管理启示，从供应商的立场来看，（1）供应商应选择风险规避程度较轻的销售商，并针对风险规避程度不同的销售商，采取差异化的契约安排。（2）存在促销效应时，引入促销成本分担机制有助于完成渠道协调，特别地，供应商可实施以下成本分担政策：在批发价格给定的情形下，对风险规避程度不同的销售商因促销活动产生的成本，提供相同的成本分担比例政策，但对供应商的促销活动产生的成本，则应根据销售商的风险规避程度实施不同的分摊政策，销售商越规避风险，其成本分担比例就越低。（3）回购价格必须大于商品残值，否则回购策略无意义。从销售商的立场来看，销售商应争取供应商采取风险分担的契约组合，比如回购契约，而不是单一的价格契约，以促进供应商实施促销努力。

附录

由式（5），并注意到理性的供应商和销售商采取的促销策略组合eS+eR≤y，有：

式（28）表明：除了点v=（φp-w）y-CR（eR）之外，（·）关于v是连续可微的。

下面证明其连续性。只需注意到对任意正数δ，有

第2）部分的证明。由式（28），对一切v＞（p-w）y-CR（eR），有（·）/∂v=1-1/η＜0，如果我们能证明：对一切v＜（p-w）y-CR（eR），有（·）/∂v＞0，则可完成证明。由于F（ξ）关于ξ是严格增的，因而只需表明（·）/∂v｜v=［（p-w）y-CR（eR）］-＞0。用反证法，假设（y-eS-eR）≤0，注意到，且由第1）部分的证明可知：/∂v在区间［（p-b）（eS+eR）-（w-b）y -CR（eR），（p-w）y-CR（eR））是连续的，因而在这个区间中，必定存在某 个 v*（y，eR）满 足 下 式：1-，解之，得v*（y， eR）=（p-b）［F-1（η）+eS+eR］-（w-b）y-CR（eR），将其置入式（5），有：

定理1的证明存在性。定义yM=F-1［η（p-w）/（pb）］++，=inf{eS｜C′S（eS）≥b｝，=inf{eR｜C′R（eR）≥p-w｝

容易表明：对销售商的任意策略，供应商的最优策略位于闭凸集［0］，而对供应商的任意策略，销售商的最优策略位于闭凸集［0×［0］，由命题1和命题2以及纳什均衡存在性定理，可以表明：由P1和P2构成的联合促销博弈存在一个纳什均衡。

唯一性。由命题1和命题2，给定销售商的策略，方程（6）是供应商采取最优策略的充要条件，而给定供应商的策略，方程（8）和（9）是销售商采取最优策略的充要条件。因此，要证明均衡的唯一性，只需表明式（6）、（8）和（9）构成的方程组的解是唯一的。的唯一性是显然的，这直接由式（9）给出。将式（8）代入式（6），可以表明的唯一性。既然和是唯一的，由式（8），并注意到需求分布的密度函数f（ξ）始终大于零，可表明y*也是唯一的。

定理2的证明只证明批发价格对决策变量的影响，可类似证明回购价格对决策变量的影响。对式（10）两边求w的一阶导数，有/d w=-bη/（p-b）＜0，既然＞0，故＜0。类似地，对式（11）两边求w的导数，有/d w=-1＜0，既然＞0，必有/d w＜0。对式（12）两边求w的导数，有=-η/（p-b）＜0，上式左边的/d w＜0，/d w＜0，故必有d y*/d w＜0。

第二部分的证明。由式（16）和（21），有η（p-w）/（pb）=（p-c）/p，结合式（14）和式（19），有α（p-c）=b（pc）/p，故有b=αp。可类似地证明其它结论。

定理6的证明注意到y*=F-1［η（p-w+d）/（p-B+ d）］+，结合式（22）至（24）可完成证明。

定理7的证明关于s＜b的证明，由式（22），当s≥b时，有=0，在这种情形下渠道协调不能完成，既然由式（25）及c＜p，有eI*S＞0。其它证明与定理5相同，略。

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Buy-back Contracts for a Supply Chain with a Risk-neutral Supplier and a Risk-averse Retailer Who Take Joint Promotion Actions based on CVaR

DAI Jian-sheng1，MENG Wei-dong2
（1.Faculty of Management and Economics，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650093，China 2.College of Economics and Business Administration，Chongqing University，Chongqing 400030，China）

Based on CVaR risk measure criterion，the issue is discussed in this paper，that whether or not buy-back contract can coordinate supply chains with a risk-neutral supplier and a risk-averse retailer who take joint promotion actions to sell newsboy goods.Some of management enlightenment is attained.Channel members'optimal decision-making is explored under a given buy-back contract arrangement，and how exogenous parameters，such as buy-back contract parameters，risk aversion coefficient of the retailer，salvage value and shortage cost and so on，affect the optimal decision-making is also investigated.It shows that buy-back contracts，by introducing cost-sharing mechanism，can coordinate not-too-risk-averse supply chains，which cannot be coordinated by conventional buy-back contracts.In particular，salvage value and shortage cost have no effect on the above-mentioned conclusions.However，they exert important impacts on feasible space of buy-back contracts and what supply chain can be coordinated by buyback contracts. The main conclusions are verified by means of numerical analysis.

supply chain；buy-back contract；joint promotion；CVaR

C934；F274

A

1003-207（2014）07-0043-09

2012-07-05；

2013-04-30

国家自然科学基金资助项目（71362025，71262029）；昆明理工大学人才培养基金资助项目（KKSY201408067）

代建生（1978-），男（汉族），四川华蓥人，昆明理工大学管理与经济学院，博士，研究方向：供应链管理、团队生产理论.