用概率方法证明两个函数的单调性

方龙祥

[摘 要]在高等数学教学中，证明函数的单调性，通常是利用定义求出函数的导数，然后通过导数的符号来判断。可以通过引进一个非负随机变量，利用此随机变量的一阶原点矩与二阶原点矩之间的关系，证明函数的单调性。

[关键词]单调性 递增故障率 递增平均故障率

[中图分类号] O174 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2014）05-0044-02

在高等数学教学中，证明函数的单调性，通常是利用定义求出函数的导数，然后通过导数的符号来判断。但是，我们也会遇到导数的符号很难判断或者无法判断的情形，这时我们可以用概率方法来处理这样的问题。我们引进一个非负随机变量，此随机变量有递增故障率，利用其一阶矩与二阶矩之间的一个关系，就能很简单的判断出函数的单调性。

首先，我们介绍两个引理。

[ 参 考 文 献 ]

[1] Misra， N.， Misra， A.K. （2013）. On comparison of reversed hazard rates of two parallel systems comprising of independent gamma components. Statistics and Probability Letters 83： 1567–1570.

[2] Barlow， R.E.， Proschan， F. （1975）. Statistical theory of reliability and life testing： probability models. Holt， Rinehart and Winston， New York.

[责任编辑：林志恒]