浅谈数学问题系统引导教学法实验

王丽云

摘要：本文通过介绍问题系统引导教学法在高中数学中的操作方法和使用的效果，总结了这一系统的实际意义。

关健词：问题系统高中数学实验

问题系统引导教学法实验，是从教学思想、教材、教法及课堂结构等方面进行的一次综合性的改革实验，它从目标与检测、自学、情感这四个因素来全面落实数学问题系统，将教材中的数学习题进行了扩展。从主体上说，就是将传统的教材向具有科学性、生动性、启发性和导向性的问题系统进行转化，在编排上根据中学生的认知水平和心理水平进行安排，将死板的教学变成了生动活泼的乐学，实现了当前倡导的“面向全体学生，负担轻，速度快，容量大，效果好”的教学目标。

我校编写了一套高一的《代数》和《立体几何》教案本。在两年的教改实验中，我们进行了多次的研究教学和观摩教学活动，收到了良好的教学效果。

一、教案本与问题系统引导教学法实验课例

目前高考的知识点大部分来自于教材，但是所遇到的题型和解题方法都是没有见过的。也就是说，即使学生熟练地掌握了教材，也不一定能在高考中取得好成绩。针对这一问题，提出了问题系统引导教学法。我们将教材的每一节知识编成了相应的教案本，教案本将每节课都问题化，目的是让学生主动去思考，教师只是引导，通过这样的方式来培养学生的自学能力。此教案本是为了高考而特制的，在课堂教学中，课前能当预习辅导材料，课后又能作为习题本。

下面就问题系统引导教学法具体的课堂实例进行介绍，以等差数列的前n项的和公式一节课为例。

课题：“等差数列的前n项的和公式”。

研讨课题：如何使用实验教材引导学生进行系统的自我学习、探索、发现和概括？

教学过程：

教师：今天，我们学习实验教材《数列》第一章的第五课“等差数列前n项的和公式”，同学们先看教案本中的学习提要和问题1的两个问题。

学习提要：等差数列的前n项的和公式有哪两个形式？如何导出的？如何应用等差数列前n项的和公式解题？

评述：实验教学每节课开始，都是以几个小问题的形式呈现，提出本节课的教学目标、学习任务，教学知识的重点，这样有利于教与学的顺利开展。

问题一：

1.在等差数列{an}中，若自然数n，m，p有关系q，n+m=p+q，则an，am，ap，aq有关系an+am=ap+aq。

2.如何计算1+2+3+…+100？

评述：问题一迁移性问题，为引出以下的新知识起到了铺垫作用，如第1题是为了解释a1+an=a2+an-1=…，第2题则是推导等差数列Sn的方法原型。

教师：同学们看问题二与问题三中部分公式的推导。

问题二：

1.如何计算5+6+7+8+9+10+11？

2.在等差数列{an}中，如果记Sn=a1+a2+…an，称Sn为等差数列{an}的前n项的和，问Sn具有怎样的表达式？

问题三：

1.试用下面竖式计算题1中七个数的和：

S7=5+6+7+8+9+10+11，①

S7=11 + 10 +9+ 8 + 7 + 6 + 5。②

①+②得：

2S7=（5+11）+（）+（）+（）+（）+（）+（）

=7×16。

∴S7=7×8=56。

2.一般地，设有等差数列a1，a2，…，an，它的前n项的和为Sn=a1+a2+…+an。

仿上题列竖式：

Sn=a1+a2+…+an-1+an，③

Sn=an+an-1+…+a2+a1。④

③+④得：

2Sn=（）+（） +…+（）+（）。

∵a1+an=a2+ （）=……

∴2Sn=n·（a1+an）。

由此得到等差数列{an}的前n 项和公式。

公式（1）Sn=n（a1+an）12，求Sn需知三个条件，再由等差数列的通项公式an=a1+代入上式，得到等差数列Sn的另一形式。

公式（2）Sn=na1+n（n-1）12d，这里求Sn要知道的三个条件是：。

教师叫学生写出公式（1）、（2），然后用语言表达推导公式的方法，应用公式求Sn的方法需要知道的三个条件。

评述：这两个问题从浅到深来安排，主要是希望让学生根据规律逐渐掌握数列的求和公式，由学生自已动笔去推导这些公式，印象深刻，对知识理解到掌握。

现通过两个例题组织学生进行讨论。

例1一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和.

（1）若这个数列前n项和最大，求n的值.

（2）求该数列前14项的和.

分析：（1）s3=s11，说明第4项到第11项之和为0，因数列首项为正，故必然有一项为正且其后面一项为负，找到这一正、负分界项，便得到n的值.

（2）s3=s11，显然不能求出a1和d的具体值，为此，只有设法探求s14与它们的关系.

解：（1）由已知s3=s11，得

a4+a5+a6+…+a10+a11=0，

a4+a11=a5+a10=…=a7+a8=0.

因数列首项为正，故公差d<0，且a7>0，a8<0，所求n的值为7.

（2）设{an}首项为a1，公差为d，s3=s11，

则3a1+3（3-1）12s=11a1+11（11-1）12d，

整理得2a1+13d=0.

故s14=14a1+14（14-1）12d=7（2a1+13d）=0.

例2设数列an是等差数列，Sn是它的前n项的和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{|Sn1n|}的前n项的和，求Tn。

解：设数列{an}的公差为d，则

7a1+21d=7，

15a1+105d=75，解得a1=-2，

d=1。

所以Sn=n（n-5）12.

设bn=Sn1n=n-512，则{bn}是等差数列，故S′n=b1+b2+…+bn

=n2-9n14.

令bn=n-512≥0，解得n≥5.

所以b1，b2，b3，b4<0，b5=0，当n≥6时，bn>0.

所以当n≤5时，

Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|

=-（b1+b2+…+bn）

=9n-n214.

当n≥6时，

Tn=|b1|+|b2|+…+|b5|+…+|bn|

=-（b1+b2+…+b5）+b6+…+bn

=-S′5+（S′n-S′5）

=S′n-2S′5

=n2-9n+4014.

所以Tn=9n-n214（n≤5），

n2-9n+4014（n≥6）。

评述：对所学知识进行及时的反馈，通过练习，帮助学生开发自己的思维。教师不需要对习题进行讲解，完全由学生自己直接解答，由师生共同讨论完成解答步骤。

由此可以看出，实验教材不仅是教师的教案，还是学生的练习册。在课堂上，既节省了教师的板书、提问，学生的抄笔记等活动，在一定程度上减轻了学生的课业负担，使课堂高速、高效。

二、实验总结

实验取得了相当满意的效果，这当然取决于我校学生有良好的素质和刻苦学习的精神，效果体现在以下两方面.

1.减轻了教师的负担

从学生方面来说，问题系统引导教学法的实验培养了学生自觉学习的习惯，学生只有在每节课之前做好预习，才能正确地完成教案本上的内容，这就等于完成了课本中的一些容易的练习题了，这样，学生就可以不必去做课本上的习题了。针对学习差的学生则需要加强对教材习题的训练。从教师方面来说，有了教案本，备课的工作量大大减少，作业批改量也很少，甚至是没有，从而减轻了教师的负担。

2.学生的学习能力大幅度提高

经过这一年的实验教学法的实施，在每次的测试中，有的学生能得满分，这在以前的教学中是没有的，学生学习成绩的提升，激发了学生学习数学的热情，学生的学习能力也得到了提高。

总之，运用问题系统引导教学法实验在实际的教学中取得了很好的教学效果，为此，在高三年级也应该进行此种方法教学，现在已经相应编好了高三教学用的数学专题讲座。希望在以后的教学中，问题系统引导教学法实验更加完善。

参考文献

王岳庭。数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集。北京：海洋出版社。 1998年。

田万海。数学教育学，浙江：浙江教育出版社。1993年。

庄亚栋。高中数学教与学。扬州：中学数学教与学编辑部出版。1999年。