函数y=lg f（x）值域问题探究

瞿诗兵

函数y=lgf（x）值域问题历来是高中生最不容易理解，也是老师最不好教的问题.这类问题学生易受思维定式的影响，误认为只要真数f（x）>0就能保证函数值域为R，其实不然，需要真数f（x）能取遍一切正实数，才能保证函数值域为R.而这一点，正是学生最不容易理解的地方.因此需另辟蹊径，寻找新的思维方法来帮助学生理解.

我们知道，y=lgf（x），f（x）=x， 当x>0 时，y=lgf（x）值域为R， 那么：（1）f（x）=x2+4x+5，（2） f（x）=x2+4x+4， （3）f（x）=x2+4x+3 时，函数y=lgf（x）值域是否仍为R 呢？

很多学生认为 f（x）=x2+4x+5=（x+2）2+1>0，易得出y=lg（x2+4x+5）的值域为R.相反，y=lg（x2+4x+4）的值域为R，却认为f（x）=（x+2）2 ≥0真数无意义， 得出不能求其值域的错误结论 .导致学生错误的原因是什么呢？是因为学生对 “x>0 时，y=lgx的值域为R”的实际意义理解不清.其实这里“x>0” 指 x 能够取遍一切正实数.这句话学生是不好理解的，他们会在心里盘问，既然x 能取遍一切正实数， 为什么书上又说 “x>0时，y=lgx的值域为R”，因此我们应该从学生角度出发来考虑问题，要用学生能够听得懂的语言和方法来进行教学.为此，可考虑作函数 f（x）=x 的图像帮助学生理解y=lgf（x）的值域问题.

作函数 f（x）=x 的图像如图.从图上看x∈R，相应f（x）∈R ，其图上有 x>0，f（x）>0 的部分，即可叙述成x 能取遍一切正实数，才能保证y=lgf（x）的值域为R.另外，从图上看之所以f（x）=x 能取遍一切正实数是因为其图像与 x 轴相交，且在 x 轴上方是无限延伸的.

由此，我们得到求函数 y=lgf（x）值域为R的结论：

当函数 f（x） 的图像与 x 轴相交且在 x 轴上方是无限延伸时，y=lgf（x）的值域为R.

利用这个结论，问题（2），（3）便迎刃而解了，其值域为R.问题 （1）值域为[0，+∞）.

我们利用这个结论探究下面的问题.

例 已知函数y=lg（ax2+bx+c）的值域为R ，求 a，b，c 满足的条件.

解 （1）当a≠0时，作函数 f（x）=ax2+bx+c 的图像（如图），要使y=lg（ax2+bx+c）的值域为R ，需函数 f（x）=ax2+bx+c 的图像与 x轴相交且在x轴上方是无限延伸的，则a>0且b2-4ac≥0.

（2） 当a=0 时，作函数f（x）=bx+c的图像，要使y=lg（bx+c）的值域为R， 需函数f（x）=bx+c的图像与 x 轴相交且在x 轴上方是无限延伸的，则b≠0.

练习：1.已知函数y=lg（x2-2ax+3）的值域为R，求a的取值范围.

2.已知函数y=lg（x+ax-1）的值域为R（a>0），求a的取值范围.

若把条件a>0改为a∈R，则a的取值范围又如何呢？

答案 1.a≥3或a ≤ -3.

2.00，x>0时，tmin=2a-1，当2a-1≤0，00，x1x2=a<0，∴x>0时，存在t（x）=0，且函数t在x>0时单调递增，其图像与x轴相交且是无限延伸的，∴y∈R.综上，a≤14.

其实，在我们平常的教学中有很多类似的学生不好懂的问题，我们可以想点子去教学生.如讲函数概念时，可以告诉学生函数是一种对应关系，“对应关系”一般可用“函数”两字替代，一般表格和图像具备两个量对应关系，所以它们一般是函数；讲“充分条件”和“必要条件”时，可以告诉学生：从推证关系看，箭头前的部分是“充分条件”，箭头后的部分是“必要条件”等.只要我们在平常教学中钻研学生，从学生角度出发思考问题，然后用学生能够理解的语言和方法去教学，那么学生会学得更好和更有兴趣.