有趣的相似曲线

桂再安

我们学过相似三角形、相似多边形等概念，这些图形的边界总是直的，但某些图形的边界是曲线，如两个圆，边界是曲线，显然它们是相似的.还有离心率相等的椭圆、双曲线相似，任意抛物线都相似.看了文[1]、文[2]、文[3]后，笔者在初等函数图像中也发现了其他的相似曲线.

将曲线对称变换、旋转变换、平移变换后，不改变曲线形状.所以下面要讨论的问题和定义的概念都不考虑曲线对称、旋转变换等因素.

一、相似曲线的概念

研读了文[3]后，觉得可以在初等函数的前提下，给相似曲线一个简单的定义.规定文中的曲线符号为f→：f（x，y）=0.

定义 若点（x，y）为曲线f→1上任意一点，在曲线f→2上都存在与（x，y）对应的点（ξ，η）， 使得（x，y）=σ（ξ，η），（σ>0，σ≠1），则称曲线f→1与曲线f→2相似，σ称为f→1到f→2的相似比，记作f→1=σf→2，且相似中心为原点.

f→1， f→2， f→3为曲线，有下面的结论：

（1）若 f→1=σf→2，f→2=τf→3，则 f→1=（στ）f→3.

（2）若f→1=σf→2，则f→2=1σf→1.

定理1 平移一个图形f→1到f→2，则f→1与f→2全等，记为f→1=f→2.

曲线f→1：f（x，y）=0按a→=（h，k）平移后的曲线为f→2：f（x-h，y-k）=0.所以有：

推论1 设曲线f→1：f（x，y）=0与曲线f→2：f（x-h，y-k）=0，则f→1=f→2.

定理2 曲线f→1：f（x，y）=0，f→2：f（σx+h，σy+k）=0（σ≠0，σ，h，k∈R），则f→1=σf→2.

此定理实际上给出了判定相似曲线的一个充分条件，在简单函数图像的判断上是很有效的，我们也可以把它作为相似曲线定义的有效补充.

推论2.1 曲线f→1，f→2，f→3，若f→1=σf→2，f→2=τf→3，则f→1=（στ）f→3.

推论2.2 若f→1=σf→2，则f→2=1σf→1.

定理3 若f→1=σf→2，g1=σg2，设曲线F（f→，g→）的方程为F（f（x，y），g（x，y））=0，其中F（f（x，y），g（x，y））表示对f（x，y），g（x，y）的四则运算，则F（f→1，g1）=σF（f→2，g2）.

二、几种相似曲线及证明

1.所有抛物线都相似.

证明 只要证明开口向上、顶点为原点的任两抛物线都相似即可.

设 f→1：y=a1x2，f→2：y=a2x2，

则f→1：a1y=（a1x）2，f→2：a2y=（a2x）2.

设f→：f（x，y）=x2-y=0，即f→：y=x2 ，

则f→1，f→2可化为f→1：f（a1x，a1y）=0， f→2：f（a2x，a2y）=0.

由定理2知f→=a1f→1，f→=a2f→2，所以f→1=a2a1f→2.

得f→1，f→2相似，且f→1到f→2的相似比为σ=a2a1.

2.任意两个对数函数图像相似，任意两个指数函数图像相似.

证明 只要证明底数大于1的两对数函数的图像相似即可.

设 f→1：y=loga1x，f→2：y=loga2x，（a1>1，a2>1），

f→2的方程可化为loga1（ay2）=loga1x.

设 f→3：loga1（ayloga2a12）=loga1（x·loga2a1），

则由定理2得 f→2=（loga2a1）·f→3 ①.

又因 f→3方程可改写为loga1（a2loga2（a1y））=loga1（x·loga2a1），

化简得 f→3：y=loga1x+loga1（loga2a1），

所以得 f→3=f→1 ②.

由①②得 f→2=（loga2a1）·f→1，即 f→1=（loga1a2）·f→2，

得f→1与f→2相似，且f→1到f→2的相似比为σ=loga1a2.

3.函数y=xα与函数y=k·xα，（α≠0，α≠1，k>0）的图像相似.

设f→1：y=xα，f→2：y=k·xα，则f→1=k1α-1·f→2，f→1到f→2的相似比为σ=k1α-1.

因为f→2可化为k1α-1·y=k1α-1·xα.

4.函数y=ax与函数y=k·ax，（a>0，a≠1，k>0）的图像全等.

因为y=k·ax可化为y=ax+logak.

5.函数y=logax与函数y=loga（kx），（a>0，a≠1，k>0）的图像全等.

因为y=loga（kx）可化为y-logak=logax.

6.函数f→1：y=logax与函数f→2：y=k·logax，（a>0，a≠1，k>0）的图像相似.f→1到f→2的相似比为σ=1k.因为y=k·logax与y+k·logak=k·logax图像全等，而y+k·logak=k·logax可化为1ky=loga1kx.

【参考文献】

[1]梁义富.离心率相等的圆锥曲线都相似[J].数学通报，2005（11）.

[2]余学虎.任意两条抛物线相似[J].数学通报，2005（11）.

[3]罗永超，黄朝军.几类平面曲线相似的证明.凯里学院学报，2007（12）.