中法两国数学教育差异之我见

刘立汉

【摘要】中国和法国数学在教学方法、手段、解题要求及考试要求上有很多的不同，从中法数学在教学方法、手段、解题要求及考试要求的差异探讨两国数学教育之别.

【关键词】中国；法国； 数学教育；差异

数学在法国教育中具有举足轻重的地位（见[1][2]），而中国与法国数学教育有很多的不同， 下面我就简单谈谈中法两国数学教育的几点差异：

一、教学方法、手段不同

我国中学通过题海战术， 让学生反复练习初等数学中的一些技能， 比如几何的辅助线、三角函数降幂公式、倍角公式等.而法国中学会强调一些空间知识， 比如把长度的概念拓展成“模”， 初步引入其他空间的三角不等式之类， 略显抽象.多记忆一些结论之后， 乍一看起来我们的中学生比法国要多一些“形式运算”的数学技能， 但这些技能在高考后会被迅速忘却， 这方面的优势没了， 抽象思维能力的劣势还在， “形式运算”的习惯还在， 于是很多新生一进大学都觉得高等数学很难.

同时， 我国中学的教育没有展示数学优美的一面.无尽的题海使学生厌倦或者恐惧.进入大学之后由于没有了高三那样的压力， 学生逃避或抵触高等思维、高等工具已成必然.而反观法国， 已有概念在新的空间的推广， 前后的相似之处、联系和区别， 更能体现数学的本质.

再者， 我国对于教材中的定义、定理和概念的来源、产生背景等不去做过多的探求， 也不探求这些知识在生产实际中有什么用， 及如何运用所掌握的知识去发现、分析和解决新问题.我国重视计算技能， 传统偏重于把数学作为一项“技艺”来学， 甚至存在把计算作为数学学习的主要内容的现象.但计算如果不和解决问题的原理、方法等结合来学， 最多只能学到一些机械的技术性操作， 却不知用在何处.另外， 我国总是按照定义—定理—推论—习题的逻辑顺序展开， 学生只是被动地接受一个一个概念， 却不知道为什么要这样做.而法国数学逻辑性很强， 每一步都知道为什么要这么做.

二、解题要求及考试要求不同

我国培养的解决简单问题的熟练度， 优秀学生也只是解决简单问题的熟练度比较高而已， 我们在一些常见的简单问题上有很多结论， 要求学生背下， 对这些结论的熟练与否决定了学生考试成绩的高低.我们长期以来“背结论”式的教育， 扼杀了学生的推理能力， 使得学生过分依赖结论.而法国数学要求每一步过程都必须有严格的推理依据.另外， 我国数学考试是考难度、考计算、重结果， 法国数学考试是考广度、考推理、考过程.也许结果是对的， 但过程不详细或推理不严谨， 最终所得的分数也不高.比如：

例1 求极限limx→1

x≠1-3x2-1+2x2-1.

按法国数学的要求， 解题过程如下：

x≠1，

-3x3-1+2x2-1=-3（x-1）（x2+x+1）+2（x-1）（x+1）

=-3（x+1）+2（x2+x+1）（x-1）（x2+x+1）（x+1）

=2x2-x-1（x-1）（x2+x+1）（x+1）

=（2x+1）（x-1）（x-1）（x2+x+1）（x+1）

=（2x+1）（x2+x+1）（x+1）（x≠1，x-1≠0）.

由常用极限limx→1

x≠11=1和极限的运算法则limx→1

x≠1x=1， 又由函数极限的运算法则可知：

limx→1

x≠1x2=limx→1

x≠1（x）2=12=1.

再由函数极限的运算法则知：

limx→1

x≠1[（x2+x+1）（x+1）]=lim（x→1

x≠1x2+x+1）·limx→1

x≠1（x+1）

=（limx→1

x≠1x2+limx→1

x≠1x+limx→1

x≠11）·（limx→1

x≠1x+limx→1

x≠11）

=（1+1+1）·（1+1）

=6≠0

于是， 由函数极限的运算法则知：

limx→1

x≠1-3x2-1+2x2-1存在， 并且

limx→1

x≠1-3x2-1+2x2-1=limx→1

x≠12x+1（x2+x+1）（x+1）

=limx→1

x≠1（2x+1）limx→1

x≠1[（x2+x+1）（x+1）]

=limx→1

x≠12x+limx→1

x≠11limx→1

x≠1[（x2+x+1）（x+1）]

=2limx→1

x≠1x+limx→1

x≠11limx→1

x≠1[（x2+x+1）（x+1）]

=2×1+16=36=12.

所以， limx→1

x≠1-3x2-1+2x2-1=12.

而按我国数学的要求， 解题过程如下（见[3][4][5][6]）：

limx→1-3x2-1+2x2-1=limx→12x+1（x2+x+1）（x+1）=2×1+1（12+1+1）（1+1）=12.

通过这个例子可以看到， 我国的解题过程明显比法国的解题过程简略， 法国数学出现分式， 一定要考虑分母是否为0， 求极限时首先判断极限是否存在， 然后才能求极限， 否则他们认为是不合法的.同样在判断极限存在时， 又要交代清楚为什么存在， 在整个过程中每一步都要有依据.再者， 法国对计算的最终结论一定要画框， 否则他们认为你还没有完成.

例2 设g是定义在实数集上的函数， 定义如下：g（x）=（1-x）ex， 求函数g的单调区间.

按法国数学的要求， 解题过程如下：

函数g的定义域是R.因为函数x→1， x→x和x→ex都在R上可导且（x→1）′=（x→0）， （x→x）′=（x→1）， （x→ex）′=（x→ex）.由函数的求导法则知， 函数g在R上可导， 其导函数为

x∈R， g′（x）=（-1）·ex+（1-x）·ex=-xex.

于是，

g′（x）=0-xex=0x=0.

g（0）=（1-0）×e0=（1-0）×1=1.

g′（x）<0-xex<0x>0.

g′（x）>0-xex>0x<0.

函数g是初等函数， 故在其定义区间R上都连续.由导数和函数的单调性的关系可知，函数g在区间（-∞，0]上严格单调递增， 在区间[0，+∞）上严格单调递减.

设x≠0， 我们有g（x）=（1-x）ex=xex（1x-1）.

由常用极限limx→+∞1x=0和函数极限的运算法则可知：

limx→+∞1x-1=limx→+∞1x-limx→+∞1=0-1=-1.

又因为limx→+∞x=+∞和limx→+∞ex=+∞， 所以当x→+∞时，xex（1x-1）→-∞， 即limx→+∞g（x）=-∞.

令y=-x， 则x→-∞，当且仅当y→+∞， xex=-ye-y=-yey.

由比较增长率知， limy→+∞yey=0， 利用常用极限limx→-∞ex=0和函数极限的运算法则可得：

limx→-∞g（x）=limx→-∞[（1-x）ex]=limx→-∞ex-limx→-∞（xex）=0+limy→+∞yey=0+0=0.

综合上述， 我们得到下表：

而按我国数学的要求， 解题过程如下（见[3][4][5][6]）：

函数g（x）的定义域是R，

g′（x）=（-1）·ex+（1-x）·ex=-xex.

于是，

g′（x）=0-xex=0x=0.

g′（x）<0-xex<0x>0.

g′（x）>0-xex>0x<0.

所以， 函数g（x）在区间（-∞，0）上严格单调递增， 在区间（0，+∞）上严格单调递减.

通过这个例子可以看到， 我国的解题过程同样明显比法国的解题过程简略， 法国数学求单调区间时最终结果显示在一张表上，看起来是非常显然的，同样在整个过程中每一步都要有依据.

当然， 这样的差别还有很多很多.