圆内共点弦定理

黄正洪

圆内两弦相交，有相交弦定理，该两弦在圆周上确定的四边形与其对角线的关系，有托勒密定理.那么圆内多弦相交于一点会有什么情形产生呢？对此一问的结论是：当相交于一点的弦数为多于2的偶数时，由最基本的两弦相交的相交弦定理和托勒密定理的拓展，我们可以寻觅到一些有趣的现象，但这其间更多真正的奥秘还有待于探索和挖掘.而当相交于一点的弦数为多于1的奇数时，我们发现这里边有一个数学的汪洋大海，面对海岸边迷人的风光，叫人不舍离去，也许是造化不负有心寻觅之人，作为回报一看似极为平常实际却很珍贵的小颗粒发出了夺目的闪光，这宝贝肯定是先贤不小心失落，对这一拾得物我们可作如下描述：“过圆内一点M的（2n-1）（n=2，3，4…）条弦在圆周上所确定的多边形的两组不相邻的边的乘积相等.”以上叙述就是我们自诩的“圆内共点弦定理”.下面为该定理作出证明：

如图（一），假设（2n-1）条图（一）弦在圆O内相交于M点，我们定义这些弦的两个端点在圆周上所确定的2（2n-1）边形为A1A2A3…A2（2n-1）.

于是知这些共点弦分别为：A1A2n，A2A（2n+1），…，A2（2n-1）A（2n-1）.设MA1=a1，MA3=a2，…，MA（2i-1）=ai（i=1，2，3…）.

于是由两弦所夹的两对顶三角形分别相似的情形，在圆的360°范围内由相交弦定理，我们可得如下所有（2n-1）组等式：

A1A2/A2nA（2n+1）=a1/a（n+1）.（1）

……

A（2n-3）A（2n-2）/A（4n-4）A（4n-3）=a（n-1）/a（2n-1）.（2）

A（2n-1）A2n/A（4n-2）A1=an/a1.（3）

……

A（4n-3）A（4n-2）/A（2n-2）A（2n-1）=a（2n-1）/an.（4）

将以上（2n-1）组等式的两边分别连乘，于是就得到：

A1A2×…×A（2n-3）A（2n-2）×A（2n-1）A2n×…×A（4n-3）A（4n-2）/A2nA（2n+1）×…×A（4n-4）A（4n-3）×A（4n-2）A1×…×A（2n-2）A（2n-1）=a1×…×a（n-1）×an×…×a（2n-1）/a（n+1）×…×a（2n-1）×a1×…×an=1.（5）

由（5）式，于是我们就有：

A1A2×…×A（2n-3）A（2n-2）×A（2n-1）A2n×…×A（4n-3）A（4n-2）=A2nA（2n+1）×…×A（4n-4）A（4n-3）×A（4n-2）A1×…×A（2n-2）A（2n-1）.（6）

等式（6）就是“圆内共点弦定理”的表达式，它在平面几何的证题中有一定的现实意义.这里让我们来作一应用举例：

如图（二），已知 M，N是圆周上的任意可移动的两个点，P是直径AB上的动点，求证：tan∠AMP×tan∠BNP为定值.

图（二）证明 设图中NP的延长线交圆O于D，MP的延长线交圆O于C，且设图中∠AMP=α，∠BNP=β.于是根据同弧上的圆周角相等我们可推知∠ABC=α，∠BAD=β.因AB为直径，进一步由直角三角形边长与三角函数的关系我们可得：

tan∠AMP=tan∠α=AC/BC.（7）

tan∠BNP=tan∠β=BD/AD.（8）

将（7）乘上（8）于是我们可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=AC×BD/AD×BC.（9）

在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理我们可得：

AC×BD=AD×BC+AB×CD.（10）

将（10）代入（9）我们有：

tan∠AMP×tan∠BNP=（AD×BC+AB×CD）/AD×BC.（11）

将（11）化简可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+AB×CD/AD×BC.（12）

至此我们应用“圆内共点弦定理”，且只取当（n=2）时的情形（即将共点弦数定为三条），于是我们可得如下等式：

AD×BC×MN=AM×BN×CD.（13）

将（13）改写我们可得：

AD×BC=（AM×BN×CD）/MN.（14）

将（14）代入（12）就有：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+AB×CD×/（AM×BN×CD/MN）.（15）

将（15）化简可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+AB×MN/AM×BN.（16）

在圆内接四边形ABNM中，又由托勒密定理的改写式我们可得：

AB×MN=AN×BM-AM×BN.（17）

将（17）代入（16）就有：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+（AN×BM-AM×BN）/AM×BN.（18）

将（18）化简可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=1+AN×BM/AM×BN-1.（19）

将（19）整理可得：

tan∠AMP×tan∠BNP=AN×BM/AM×BN.（20）

由（20）知tan∠AMP×tan∠BNP为一定值.证明完毕.

通过对“圆内共点弦定理”的应用举例，我们发觉该定理的确有其存在的价值，今后我们如要破解同类或相关的试题，一定会因有此定理的存在而使思路更为清晰，其表述过程也会因此而得到简化，故我们感觉有必要将此“小颗粒”以定理的形式记录下来，并希有更多的人能从更多的信息渠道获知此定理的存在和了解到其存在的意义.

注：如图（一）中的A（4n-2）点即A2（2n-1）点，在图中改写和使用A（4n-2）是为了简便表达A（4n-3）这类点特意而安排的，其他诸如此类情形的点的表达，我们不再一一加注，特此说明.