由“数”化“形” 在解题中的应用

包文光

一、构造法

一个问题S如果在题目给定的系统里不易求解，倘若能找到一种对应关系f，把它转化为另一个系统中的相应问题S′，借助于对应关系f或新的数学模型S′的性质，获得原来问题的解答.构造模型是一种创造性思维，但离不开对题目结构特点的认识.

1.求代数式的值

例1 tan15°+cot15°的值是（ ）.

A.2 B.2+3 C.4 D.433

图 1分析 tan15°=a>0，则cot15°=1a.问题即求a+1a的值.构造等腰三角形ABC，D是BC的中点，∠BAC=30°.如图1.

解 设BD=DC=a，AD=1，则由三角形面积等效得：12·2a·1=12·a2+1·a2+1·sin30°，得：12（a2+1）=2aa2+1a=a+1a=4.

所以tan15°+cot15°=4.选C.

简评 本题通过构造等腰三角形，将所求问题转化为三角形面积的简单计算，省去了繁杂的三角变换，大大简化解题过程.实现了“数”与“形”的完美结合.

2.求最值（取值范围）

例2 如果方程x2-4|x|+6=a有两个不同实数根，求a的取值范围.

图 2分析 原方程可化为（|x|-2）2=a-2，作y=（|x|-2）2与y=a-2的图像，如图2，由图知a-2=0或a-2>4，即a=2或a>6时方程有两个不等实数根.

简评 本题通过恒等变形，构造两个不同函数，将所求问题转化为函数图像模型中两个函数图像的交点问题，使问题直观简洁化.

3.证明（解）不等式

例3 设函数f（x）=2|x+1|-|x-1|，求使f（x）≥22的x的取值范围.

图 3分析 由于y=2x是增函数，f（x）≥22等价于|x+1|-|x-1|≥32，我们构建一条数轴，如图3.不等式所赋予的几何意义是数轴上的一点x到x=-1的距离与到x=1的距离大于等于32.

解 由图易知：|x+1|-|x-1|=32的点为x=34，所以|x+1|-|x-1|≥32的解集为：34，+∞，即f（x）≥22的解集为34，+∞.

简评 本题通过构造一条实数轴将绝对值不等式问题转化为实数轴上一动点到两定点的距离差值问题，求解方便快捷.

二、图像法

1.有关方程根及其分布（曲线的交点）

例4 设定义域为R的函数f（x）=|lg|x-1||x≠1

0x=1，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是（ ）.

A.b<0且c>0 B.b>0且c<0

C.b<0且c=0D.b≥0且c=0

图 4分析 我们先考察f（x）的图像如图4.

f（x）>0x≠1

f（x）=0x=1且f（x）关于x=1对称.关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，若方程有两个不等实数根f1（x）>0，f2（x）>0，则x的方程f2（x）+bf（x）+c=0必有8个不等实数根，与所给条件矛盾.所以方程f2（x）+bf（x）+c=0只可能是一个零根和一个正根，所以c=0.另一方面，显然有-b2×1>0，所以b<0.即得b<0且c=0.选C.

简评 本题的关键：一是能够比较正确地画出分段函数在直角坐标系中的图像，二是正确理解方程f2（x）+bf（x）+c=0的根的分布性质.

2.利用函数图像研究函数性质

图 6例5 如图6，定圆半径为a，圆心为（b，c），则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

分析 要确定一个点在第几象限的基本方法是确定该点的横、纵坐标的符号.由图可得：a>c>0

b<0

|b|>a.

解 直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点坐标为：-b+ca+b，1-b+ca+b，由已知条件得：-b+ca+b<-1，所以1-b+ca+b<0，所以两直线的交点在第三象限.选C.

简评 要确定一个点在第几象限的基本方法是确定该点的横、纵坐标的符号.本题的关键是通过观察图像确定一些量的正负、大小关系.