一道高考最值题的多种解法

杨春猛

【摘要】问题是数学的心脏，一个好的问题反映了现有水平与客观需要的矛盾，在解决这个矛盾时，从不同的角度思考会得到不同的解法.本文以一道高考题为例，介绍最值问题的常见解法和解题思路，并且将最值问题的解法一般化，旨在引导学生更好地处理最值问题.

【关键词】高考；数学；最值；解法

2009年全国卷Ⅰ理科16题题目为：

若π4

本题为最值问题，可以从构造几何图形的角度来求解，也可以从代数的角度来思考，笔者从以下几个不同的角度给出多种解法，并总结了最值问题常见的解题思路和方法.

角度一：化归为基本函数问题

解 令tanx=t，∵π4

∴t>1.

∴y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2=21t4-1t2=21t2-122-14≤2-14=-8.

把函数最值（值域）问题化归为基本函数问题来求解是很自然的想法，本题化归为初中就学习过的二次函数问题，方法自然、简洁.

角度二：均值不等式

分析 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x，分子的最高次数为分母最高次数的两倍，显然可以考虑利用均值不等式来处理.

解 ∵π4

∴tanx>1，∴tan2x-1>0.

∴y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=-2·tan4x-1+1tan2x-1=-2·tan2x-1tan2x+1+1tan2x-1=-2tan2x+1+1tan2x-1=-2tan2x-1+1tan2x-1+2≤-2（2+2），

当且仅当tan2x-1=1tan2x-1，即tan2x=2，即tanx=2时取等号.

评析 均值不等式为高中不等式中的重点内容，是处理最值问题最基本、最有效的方法，使用时注意等号成立的条件.

角度三：判别式法

分析 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2=2m21-m，可以考虑使用判别式法求解.

解 令tanx=t，∵π41.

令m=t2，m>1，

y=2m21-m（m>1），

整理为2m2+my-y=0，

问题转化为二次方程2m2+my-y=0在（1，+∞）上有解.

令g（x）=2m2+my-y，

因为g（1）=2>0，

所以有：Δ≥0且-b2a>1，

即y2+8y≥0且-y4>1，

得y≤-8.

评析 和二次函数有关的最值问题常常可以考虑判别式法，转化为二次函数根的分布问题来求解.

角度四：数形结合

分析 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2，式子为分式形式，可以考虑数形结合中的斜率模式：k=y2-y1x2-x1.

解 令tanx=t，∵π4

∴t>1.令m=t2，m>1，

y=2m21-m（m>1），式子等价于k=-2m2-0m-1，（m>1）.

求过点m，2m2与点（1，0）的直线的斜率的最小值.

法一 令y=2m2， x=m，得y=2x2.

由图像知，所求k的最小值就是函数y=2x2过点（1，0）的切线的斜率.

设切点为（x0，2x20）， y′=4x， k切=y′x=x0=4x0.

所以有2x20-0x0-1=4x0，得x0=2.

所以k切=8， 所以k=-8.

所以所求y的最大值为-8.

法二 设切线方程为y=k（x-1）.

y=2x2，

y=k（x-1）.

得：2x2=k（x-1）.

即：2x2-kx+k=0.

令Δ=0.

得：k2-8k=0，

得：k=8或k=0（舍去）.

所以所求y的最大值为-8.

评析 数形结合百般好，当最值问题中出现斜率模式、截距模式、距离模式等模式时可以考虑使用数形结合思想.

角度五：求导数得最值

分析 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2=2m21-m， （m>1）， 可以直接求导.

解 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2=2m21-m， （m>1），

所以y=2m21-m， （m>1），

y′=-2mm-21-m2.

令y′=0 得m=2或m=0.

则函数y=2m21-m在1，2上为增函数，在2，+∞上为减函数.

所以ymax=2·221-2=-8.

评析 导数是研究函数性质的最好工具，也是求最值的常用方法.

横看成岭侧成峰，远近高低各不同，最值问题可以从不同的角度得到不同的解法，其中常见的思想方法为：基本函数法、判别式法、数形结合思想、换元法、参数法、导数法等.