巧用基本不等式变形解高考题

陈日斌

【摘要】必修5的基本不等式能否解决选修4-5中的不等式的问题呢？高考中的不等式真的就只能用选修中的不等式解吗？

【关键词】不等式；高考；变形

基本不等式是学生熟透的一个公式，但用得不多.其常用形式如下：

形式1：已知a，b∈R，那么a2+b2≥2ab.形式2： 已知a，b∈R+，那么a+b2≥ab.

对上述两种形式，学生基本上没问题，但用于解高考题好像很困难，是不是真的要学完4-5才能解决呢？其实不尽然，只要对上述不等式再变形一下就能解高考题了.下面我们来看看几种常用变形：

变形1：已知b>0，那么a2b≥2a-b 如果a>0，那么b2a≥2b-a.

变形2：已知a>0，那么ab2≥2b-1a.

变形3： 已知b>0，那么a2b≥a-b4.

变形4：已知a，b∈R+，那么a3b≥2a2-b2或b3a≥2b2-a2.

下面我们就来看看变形1在高考和高考模拟考试中的运用.

例1 （2010年苏北四市一模）若正数满足a+b+c=1，求93a+2+93b+2+93c+2的最小值.

解 ∵93a+2≥6-（3a+2），93b+2≥6-（3b+2），93c+2≥6-（3c+2），

∴93a+2+93b+2+93c+2≥3×6-（3a+2）-（3b+2）-（3c+2）=18-（3a+3b+3c+6）=9 （当且仅当a=b=c=13时，取等号）.

∴93a+2+93b+2+93c+2的最小值为9.

（注：本题给出的参考答案是用柯西不等式求解）

例2 （2009年江苏高考）设a≥b>0，求证：3a3+2b3≥3a2b+2ab2.

证明 ∵a2b≥2a-b， b2a≥2b-a，

∴3a2b+2b2a≥3（2a-b）+2（2b-a）=4a+b≥3a+2b.

两边同乘ab得：3a3+2b3≥3a2b+2ab2（当且仅当a=b时，取等号）.

例3 （2010年苏锡常二模）设x，y，z满足x+y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值.

解 ∵x21≥2x-1，y21≥2y-1，z22≥2z-2，

∴x2+y2+z2≥2x-1+2y-1+4z-4=（2x+2y+4z）-6=6（当且仅当x=y=1，z=2 时，取等号）.

∴x2+y2+z2的最小值为6.

（注：本题给出的参考答案是用柯西不等式求解）

例4 （2013年江苏高考）已知a≥b>0，求证：2a3-b3≥2ab2-a2b.

证明 ∵a≥b>0，∴a2b≥b2a.∴2a2b≥b2a+b2a.

∴2a2b-b2a≥b2a.

由变形1知：2a2b-b2a≥2b-a.

两边同乘ab得：2a3-b3≥2ab2-a2b （当且仅当a=b时，取等号）.

例5 （2010年江苏高考）设a，b是非负数，求证：a3+b3≥ab（a2+b2）.

分析 要证：a3+b3≥ab（a2+b2），

即证：a6+2a3b3+b6≥ab（a4+2a2b2+b4），

即证：a6+b6≥a5b+ab5，

即证：a5b+b5a≥a4+b4.

利用变形4：a3b≥2a2-b2，

则有a5b≥2a4-a2b2，b3a≥2b2-a2，则有b5a≥2b4-a2b2.

所以a5b+b5a≥2a4+2b4-2a2b2=a4+b4+（a2-b2）2≥a4+b4（当且仅当a=b时，取等号）.

命题成立.

通过上述例子，我们可以知道，只要你能用好基本不等式，不一定非要学完选修4-5才能解高考题.只要我们平时在学习一个知识的时候多动脑、多思考，就能发现好多有用的知识.