数列求和的常见方法

王立高

在近几年高考数学试卷中，数列的求和是必考的内容之一，而求和的数列多以已知数列的函数式给出，许多数列常常无法直接求和，需要拆项分解，裂项相消或错位相减，或其他方法最终求出结果，下列简介几种常用方法.

一、通项分解法

将数列中的每一项拆成几项，然后重新分组，将一般数列的求和问题转化为特殊数列的求和问题，把这种方法称为通项分解法，运用这种方法的关键是通项变形.

例1 （2010.全国卷Ⅱ文）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=21a1+1a2，a3+a4+a5=641a3+1a4+1a5，①求{an}的通项公式；

②设bn=an+1an2，求数列{bn}的前n项和Tn.

解析 ①设公比为q，则an=a1qn-1，由已知有

a1+a1q=21a1+1a1q，

a1q2+a1q3+a1q4=641a1q2+1a1q3+1a1q4.

化简得a21q=2，

a21q6=64.又a1>0，故a1=1，q=2.

所以an=2n-1.

② 由①知bn=an+1an2=a2n+1a2n+2=4n-1+14n-1=2.

所以Tn=1+4+…+4n-1+1+14+…+14n-1+2n

=4n-14-1+1-14n1-14+2n=13（4n-41-n）+2n+1.

二、裂项相消法

裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，把没有抵消掉的合并化简，从而达到求和目的.

例2 （2010山东理）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前几项和为Sn.①求an及Sn，②令bn=1a2n-1（n∈N+），求数列{bn}的前几项和Tn.

解 ①设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+a7=26.

所以a1+2d=7，

2a1+10d=26. 解得 a1=3，

d=2.

由公式知an=2n+1，Sn=n（n+2）.

②因为an=2n+1，所以a2n-1=4n（n+1），

因此bn=14n（n+1）=141n-1n+1

故Tn=b1+b2+…+bn=141-12+12-13+…+1n-1n+1=141-1n+1=n4（n+1）.

所以数列{bn}的前几项和Tn=n4（n+1）.

三、错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，则求和可采用错位相减法.运用此方法时，一般和式比较复杂，运算量大，易会不易对，应特别细心，解题时若含参数，要注意分类讨论.

例3 （09山东）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N+，点（n，Sn）均在函数y=bx+r（b>0且b≠1，b、r均为常数）的图像上，①求r的値；

②当b=2时，记bn=n+14an（n∈N+），求数列{bn}的前几项和Tn.

解析 ①由题意，Sn=bn+r，当n≥2时，Sn-1=bn-1+r，

所以an=Sn-Sn-1=bn-1（b-1）.

由于b>0且b≠1，所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列

又a1=b+r，a2=b（b-1），a2a1=b，即b（b-1）b+r=b.

∴r=-1.

②由①知，n∈N+，an=（b-1）bn-1，当b=2时，an=2n-1.

所以bn=n+14×2n-1=n+12n+1，

Tn=222+323+424+…+n+12n+1，

12Tn=223+324+…+n2n+1+n+12n+2.

两式相减，得

12Tn=222+123+124+…+12n+1-n+12n+2

=12+123（1-12n-1）1-12-n+12n+2=34-12n+1-n+12n+2.

故 Tn=32-12n-n+12n+1=32-n+32n+1.