高中数学三角函数解题常见误区分析

张正银

【摘要】高中数学考试中，三角函数的考察主要围绕三角函数的定义域、值域、三角形内角和定律、向量的变化等内容，本文分析了高中数学三角函数常见的几个误区，并指出了正确的解题方案.

【关键词】高中数学；三角函数；误区

高中数学中，三角函数是教学重点，也是高考热点、难点.三角函数中，学生做题容易出错的地方主要在对向量公式、原理的把握不够，抽象思维能力不强，从而图像平移、三角函数求值、单调性等方面容易出错，具体如下：

一、在求角的过程中，没有注意三角函数的名称选择

例1 已知sinα>sinβ，则下列命题成立的是（ ）.

若α，β是第一象限角，则cosα>cosβ

若α，β是第二象限角，则tanα>tanβ

若α，β是第三象限角，则cosα>cosβ

若α，β是第四象限角，则tanα>tanβ

注解 因为在第一、三象限内，正弦函数与余弦函数的增减性相反，因而可以排除A，C选项；在第二象限正弦函数与正切函数的增减性也相反，因而也可以排除B选项；在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.

二、三角函数求解过程中没有注意到函数图像的变形

例2 求函数y=cosx3，x∈[0，4π]的值域.

错解

令t=x3，x∈[0，4π]，则t∈0，43π，

于是y=cost，t∈0，4π3，所以，当t=0时，y取得最大值1.

当t=4π3时，y取得最小值-12.所以函数的值域为-12，1.

正解

令t=x3，x∈[0，4π]，则t∈[0，43π]，

于是y=cost，t∈0，4π3，结合函数图像

当t=0时，y取得最大值1；

当t=π时，y取得最小值-1.

所以函数的值域为[-1，1].

注解

求解函数的值域时，不仅要根据x 的取值范围，更要结合函数图像的性质，利用函数图像的单调性获得函数的值域.

三、没有把握好三角函数的平移概念

高中数学三角函数中，平移是将图形与公式相结合的重要板块，学生往往会难以把握，进而出解题失误，影响到数学成绩，因而必须厘清平移概念，把握好平移技巧，才能有效避免错误.

例 将曲线ycosx+2y-1=0先沿x 轴向右平移π2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）.

A.（1-y）sinx+2y-3=0

B.（y-1）sinx+2y-3=0

C.（y+1）sinx+2y+1=0

D.-（y+1）sinx+2y+1=0

注解 将原方程整理为：y=12+cosx，因为要将原曲线向右、向下分别移动π2个单位和1个单位，因而可以得出y=12+cosx-π2-1为所求方程，整理而得出（y+1）sinx+2y+1=0.

本题主要考查了三角函数中的平移及三角函数公式的推导，在对三角函数的平移有熟练掌握的前提下，可以将题目中的公式直接转换为（y+1）cos （x-π2）+2（y+1）-1=0，得到答案C.

结 语

高中三角函数教学过程中面临诸多问题，学生容易进入误区，要综合把握三角函数的概念、公式、角的变化范围、值域与图像的变化，注意公式的合理选择、角的范围的确定等因素对三角函数值域的影响，才能够尽可能的在三角函数求解的过程中少犯错误，获得好的学习效果.

【参考文献】

[1]侯阳.三角函数问题中蕴含的数学思想[J].中学生数理化（高一版）.2011（4）.

[2] 罗花花.探索技巧 优化解法——三角函数中的常用思想方法[J].中学教学参考.2010（11）.