直线与椭圆的相关问题

齐建国

1.直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.

判定方法1 利用椭圆上的点到直线的最短距离判定

判定方法2 判别式法

例1 m为何值时直线y=x+m与椭圆x2+4y2=4相交、相切、相离？

解 将y=x+m代入x2+4y2=4中，得

5x2+8mx+4m2-4=0.

∵Δ=（8m）2-4×5×（4m2-4）=-16（4m2-5），

∴当50直线与椭圆相交；

当m=±5时，Δ=0直线与椭圆相切；

当m<-5或m>5时，Δ<0直线与椭圆相离.

2.椭圆截直线所得的弦长

①直线y=kx+b与椭圆x2a2+y2b2=1相交，则椭圆截直线所得的弦长l=1+k2|x1-x2|.

②直线x=my+a与椭圆x2a2+y2b2=1相交，则椭圆截直线所得的弦长l=1+m2|y1-y2|.

例2 已知斜率为1的直线过椭圆x2+4y2=4的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.

解法1 设A（x1，y1），B（x2，y2），由椭圆方程知右焦点为F（3，0），故所求直线方程为y=x-3，代入椭圆方程得5x2-83x+8=0.∵x1+x2=835，x1x2=85，

解 ∴AB=l=1+k2|x1-x2|=85.

方法2 也可由焦半径求得AB=|AF|+|BF|=2a-e（x1+x2）=85.

3.椭圆上点到直线的距离

例3 若点P在椭圆7x2+4y2=28上，求点P到直线3x-2y-16=0的最大距离.

解法1 设3x-2y+d=0与椭圆7x2+4y2=28相切，

联立解得16x2+6dx+d2-28=0.

Δ=36d2-4×16（d2-28）=0，解得d=±8.

d=8时两平行线间的距离为|-8-16|3=241313.

241313即为点P到直线3x-2y-16=0的最大距离.

解法2 设点P的坐标为P（2cosα，7sinα），

则点P到直线3x-2y-16=0的距离为

d=|6cosα-27sinα-16|13=|8cos（α+φ）-16|13.

∴dmax=|8-16|13=241313.

4.椭圆的弦被弦上的点分为比例线段

例4 过椭圆x216+y24=1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点评分.求这条弦所在的直线方程.

解法1 设所求直线方程为y-1=k（x-2），代入椭圆方程得（4k2+1）x2-8（2k2-k）x+4（2k-1）2-16=0.

设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=8（2k2-k）4k2+1=4，

解得k=-12.

∴所求的直线方程为x+2y-4=0.

解法2 设直线与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵点M（2，1）为AB中点，

∴x1+x2=4，y1+y2=2.

又∵点A，B在椭圆上，

∴x21+4y21=16，x22+4y22=16.

两式相减，得

（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0.

∴-y1-y2x1-x2=x1+x24（y1+y2）=12.

∴直线方程为x+2y-4=0.

解法3 设直线与椭圆交于点A（x，y），由于中点为M（2，1），则另一交点为B（4-x，2-y）.

∵A，B都在椭圆上，

∴x2+4y2=16，（4-x）2+4（2-y）2=16.

两式相减得x+2y-4=0.

例4是比较常见的中点弦的问题，其解法是典型的设而不求.而下面的一般则不常见.

例5 过点M（0，1）作椭圆x24+y23=1的弦AB，使AM=2MB.

解 设A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵AM=2MB，∴x1=-2x2，y1=-2y2+3.

又∵A，B在椭圆上，∴3x22+4y22=12，

3（-2x2）2+4（3-2y2）2=12，

解之得y2=32，y1=0，

x2=1，x1=-2.

∴AB所在的直线方程为x-2y+2=0.