向量在高中数学解题中的应用分析

杨帆

【摘要】高中数学教学中最为重要的教学与研究任务就是向量教学，它是研究代数、几何问题的关键.高中数学向量知识的学习和应用，有助于学生更好的体会数学与生活及其他学科之间的相互关系，进而理解数学的使用价值.

【关键词】向量；高中数学；应用分析

高中数学教学中，向量教学是重要执教内容之一，并且其在代数、几何等领域都具有重要的使用价值.新课改增加了高中数学中的向量教学内容，深化了向量教学的内容，因而，必须以新的思路和观念来看待高中向量教学.文章分析了向量法在高中立体几何、平面几何、三角函数、不等式等方面的应用，以增强学生对于高中向量知识的理解和实际应用能力.

一、向量的基本认识

向量早在19世纪就已经成为物理学家、数学家研究和应用的对象，到了20世纪，向量被引入了数学教学领域.我国于上个世纪九十年代将向量并入了高中数学教学大纲中.

二、向量在高中数学解题中的应用分析

1.向量法在立体几何中的应用

向量在立体几何中应用，与在平面几何中的应用模式一致，但加入了立体几何中的空间想象，使得学生在传统的几何问题处理模式中面临一定的差异，因而，采用向量法，能够促使几何问题简化，化繁为简，找到问题答案.

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点.在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.本题可以应用向量法求解.

解析 以A 为坐标原点，建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B（2，2，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），B1（2，0，2），

∴BE=（-2，2，1），BA1=（-2，0，2），

设面BEA1的法向量为m=（x，y，z），则

m·BE=-2x+2y+z=0且m·BA1=2x，2z=0，取x=1，

则z=-1，y=32，.∴m=1，32，-1.

假设在棱C1D1上是存在一点F，使 B1F∥平面A1BE，设F（x0，2，2），（0≤x≤2）

则BF=（x0-2，2，2），则m·BF=1×（x0-2）-32×2-（-1）×2=0.

解得x0=1，∴当F为C1D1中点时，B1F∥平面A1BE.

2.向量法在平面几何中的应用

（1）利用向量法求出直线方程

例如，已知△ABC的三个顶点分别为A（0，-4），B（4，0），C （-6，2），点E，F，D分别是AB，AC，BC 的中点，求直线FD，EF，DE 的方程.

已知三角形三个顶点的坐标，A（0，-4），B（4，0），C （-6，2），能够得知中点F，D，E的坐标分别为（2，-2）、（-1，1）、（-3，-1），设M（x，y）为DE 上的一个点，由于DM∥DE，则xty，=xzy 就能求出DE所在方程，同理，可以求出EF、FD所在的方程.

利用向量分析几何元素之间的关系，将上述问题转换为共线向量与直线向量的问题，就能够得出EF，FD的直线方程.

（2）向量法在不等式中的应用

在求解不等式的过程中，可以采用向量法.例如，a2+b2±c2+d2的结构，可以构造向量的和与差，利用向量的三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求解.

例1 证明

（x-2）2+9+（x-5）2+1≥5.

证明 设 a=（x-2），b=（5-x，1），

由|a|+|b|≥|a±b|，得出

（x-2）2+9+（x-5）2+1≥（x-2+5-x）2+（3+1）2，

得出（x-2）2+9+（x-5）2+1≥5.

利用向量法求解，比三角代换、两点间的距离公式等都简单，解法新颖、构思 巧妙，同时也可以为学生展示出数学建模的整个过程，即：问题、建模、还原，发挥向量的工具性作用.

3.向量法在三角函数中的应用

向量在三角函数中的应用，可以用来证明正余弦的两角和与两角差的问题.例如，证明cos（α-β）=cosαcosβ+

sinαsinβ.

证明 设（e1，e2）是平面上的标准正交基，a，b是平面上的单位向量，a与e1的夹角为a，b，与e2的夹角为β，且a>β.向量a在（e1，e2）下的坐标为（cosα，sinβ），向量b 在（e1，e2）下的坐标为（cosβ，sinβ），则有|a|=|b|=1.

所以a·b=|a|·|b|cos（α-β）=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

由此可见，三角函数中采用向量解法，能够借用几何的直观性、简洁性，更好的完成求解的过程.

结 语

总之，以往的几何学习主要是基于一个图形的性质推断出另一个图形的性质，这种学习方式往往缺乏规律性，高中学生很难掌握.采用向量法的“形-数”推理法，有较强的规律性，适合高中学生应用.向量作为一种数学工具，可以应用其相关知识与理论、运算方法，化繁为简，进行求解，从而在很大程度上降低运算量，更加有利于培养学生的创新意识.