促进思维发展的高中数学课堂教学问题设计研究课题

王波凤

关于“双曲线几何性质（第一课时）”教学设计方案很多，仁者见仁，智者见智，下面就笔者在秦淮中学文科班上此课教学过程中的问题设计与大家分享.

（一）创设情境

问题1 前面我们根据双曲线的定义建立了双曲线的标准方程，现在已知双曲线的标准方程是x24-y2=1，请你准确画出此双曲线的图形.

设计意图 接着上节课学的内容提出问题，给学生留下了思维的空间，有利于调动学生自主学习的积极性.通过先独立作图后协作交流，学生能相互补充. 学生在列表计算过程中，通过具体数据的计算，对双曲线的性质有了直觉性的体验.在引导学生反思画图的过程中，深化对图像特征的认识.让学生感受研究双曲线范围、顶点、对称性等性质的必要性.

（二）制定策略，自主探究

问题2 如何比较准确地画出双曲线x24-y2=1向远处延展的方向呢？

设计意图 双曲线顶点及附近的点准确地描出来没有问题，但双曲线向远处是如何延展的学生就不是很清楚了！双曲线渐近线的学习是本节课的难点，渐近线带领双曲线向远处正确的道路上延展，不会走向错误的道路.引导双曲线渐近线性质从学生在列表时给出的第一象限函数y=x24-1=12x2-4的图像与直线y=12x的关系入手.

问题3 一般的，标准方程是x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的双曲线有哪些几何性质？你打算如何来研究？标准方程是y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）的双曲线呢？

设计意图 类比研究椭圆几何性质的方法，让学生由一般到特殊，自主探究，汇报交流，展现思维过程，相互评价，相互启发，促进反思，归纳一般双曲线的几何性质，明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与手段.

问题4 椭圆的离心率是刻画椭圆的扁平程度的一个量，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？

设计意图 通过与椭圆的类比提出双曲线的离心率问题，再由渐近线的开口大小与ba的关系、ca与ba的关系来展开研究的过程，有利于学生进一步对双曲线几何性质的认识.

（三）新知运用，巩固深化

例 求双曲线9x2-16y2=144的实虚轴长、点坐标、离心率及渐近线方程.

设计意图 通过具体问题掌握求双曲线性质的基本方法，达到巩固作用.

（四）概括总结，提升思想

问题5 回顾我们的研究过程，我们是怎样研究双曲线几何性质的？

设计意图 整理本节课所学知识与方法，回顾学习过程，提炼研究圆锥曲线性质的一般方法和思想——从方程入手用代数方法研究几何问题的方法以及类比和数形结合的思想.

教后反思回顾

本节课在学生自主探索的过程中，教师应注意培养学生良好的思维习惯.观察并归纳性质，既需要特殊到一般的推理模式，也应养成有序进行观察和归纳的良好的思维习惯.对所归纳的双曲线的性质，应根据学生已有的知识水平或教学要求进行证明或合理的说明.学生不仅学到了数学知识，也初步体验了研究问题的基本方法.本节课的教学设计，力图体现因材施教原则，不同的学情下，教师应采用不同的教学策略.如果学生基础相对薄弱，问题的提出可以分层次进行.此外，注意通过“你是怎么想的？”“你同意他的意见吗？为什么？”等问话形式，促使学生暴露思维过程.另外，在圆锥曲线的研究中，信息技术发挥了很好的作用，借助信息技术可以方便地画出曲线图形，通过改变某些基本量帮助我们发现曲线的几何特征和基本性质（变中不变的），如在研究双曲线的渐近线和离心率性质时适宜的用画板给出图像，让学生进行数学探究、数学发现等等.