浅析初中生学习函数的困惑

彭秋怡

摘 要：函数是初中学生最怕学、最难学的内容之一。学生对函数概念的理解和记忆是学习函数的一大障碍。学生需要在文字语言、几何语言与代数语言之间进行相互转换，是贯穿函数学习始终的一个难点，从应用的角度来说，数学模型又是函数的一个难点。

关键词：函数；数形结合；数学模型

函数是初中数学的基础内容，更是中考中主要考查内容之一，初中函数是对初中知识的概括和总结，也是进一步学习高中知识的基础，是联系初、高中数学知识的纽带，是变量数学在初中数学的渗透。然而，它也恰恰是学生最怕学、感到最难学的内容之一。学生为什么会有这样的感觉，到底函数难在何处？教师又要如何帮助他们走出困境？学生学习函数困难的原因主要体现在以下三个方面。

一、初中生要习惯从“数”的角度思考

从“质朴单纯”的自然数，到不可思议的无理数，数一直伴随初中生长大。所以很自然地把函数理解成数。其实，函数不是数，就像蜗牛不是牛，傻瓜不是瓜一样，它既不是有理数，也不是无理数，而是在一个变化过程中，两个变量之间的对应关系，函数的研究对象是一个变化过程中的两个变量（x、y）以及它们之间的对应关系。

二、函数的显著特征是概念抽象

学生对函数概念的理解和记忆是学习函数的一大障碍。函数概念是初中阶段最抽象的概念之一，往往学生学完一个章节后大部分学生对该章节的概念仍模糊不清，对其与实际的应用也不甚了解，所以在学习函数初始阶段多少都会影响学生学习的兴趣；加之学生对函数的概念、性质及有关的结论缺乏理解，忽视数形结合，从而导致学生对函数图形不熟悉，进一步造成学习上的障碍。

三、在文字语言、几何语言与代数语言之间进行相互转换是贯穿学生函数学习始终的一个难点

大部分学生都能轻松自如地使用代数语言，但对几何语言就不习惯，不能灵活、有效地运用。新教材更加注重数与式、式与形之间的结合。因此，在教学中应始终提倡学生学会作图，习惯作图，作正确的图，多强调函数图象的数形结合，从数、式、形等不同的角度充分认识函数。函数图象与解析式的相互转换，要求学生能灵活自如地运用，但学生往往是用代数方法或几何方法后，就陷入其中，不能从一种形式迅速转换到另一种形式。对于这种既要进行图形分析又要进行代数问题分析，学生在思维方式及习惯等方面确实存在转换问题的困难。

四、从应用的角度来说，数学模型又是函数学习的一个难点

在现实生活中，函数知识能够帮助我们解决许多问题，新教材函数更强调数学知识的学习，突出实际问题的解决，应用非常广泛。在新课程标准的指导下，现行教材加入很多与实际生活相关的例子，其中有很多例子是在描述某个数学知识的产生过程或是在生活中的应用，这使得数学与生活联系更加紧密，但由于地区之间经济差距以及城乡差别，某些例子在某些地区学生并不熟悉，所以造成学生理解困难。其实，从新课程的理念来看也并不是非要讲教材中的例子，某些例子可以根据实际情况换成适合的例子，从现实生活中出发，学生会产生浓厚的兴趣。如：

1.我们学校正在规划球场，要在校园内划出一块面积是400 m2的长方形土地做球场，设这个长方形相邻两边的长分别为x m和y m，其中，x受建高铁的影响，最大取40 m，最小取20 m，则y的取值范围是 。

2.你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，如图1所示：

（1）写出y与S的函数关系式：

（2）求当面条粗1.6 mm2时，面条的总长度是多少米？

五、函数与各类知识间的联系

新教材函数更强调数学知识的学习，突出实际问题的解决，函数与各类知识间的联系。比如：用函数的观点看方程（组）、不等式，新教材对学生学习函数提出了更高的要求。

例如：如图2，已知A（-4，2）、B（n，-4）

是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=■的图象的两个交点；

（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；

（3）求△AOB的面积。

分析：其中的第（2）（3）问始终是学生学习的难点，尤其是第（2）问，不能从图象中形象看出。

六、函数存在的范围

自变量的取值决定于函数关系式本身和函数所反映的现实意义。

解决困惑的对策下面以求一次函数的解析式为例寻求突破口，让学生在解决问题的过程中发展应用数学模型的意识。

教学流程

1.復习提问

（1）什么是一次函数？一次函数的表达式中关键的量是什么？

（2）在一次函数中为什么要求k≠0？

（3）在一次函数y=kx+b（k≠0）中，k、b的值能确定一次函数图象所在的象限吗？

【设计意图：设计这些问题的目的是承上启下，让教师了解学生是否具备了教学所需的基础知识，对能否顺利完成本节课的教学内容做到心中有数。】

2.导入新课

如图3，BA、OA分别表示甲、乙两人进入赛跑训练时路程y（米）与时间x（秒）的函数图象。求：

（1）甲、乙两人进行的是多少路程的比赛？

（2）甲比乙晚出发多少秒，结果两人同时到达；

（3）求出线段OA、AB所在直线的函数表达式。

【设计意图：将函数图象与实际问题结合在一起，让学生显示识图的能力。】

3.探索新知

一次函数的图象经过原点时b=0，因而，可设一次函数的表达式是y=kx，然后代入另一个已知条件求解。

根据前面研究的一次函数的图象与性质，能求出一次函数的表达式吗？

【设计意图：学生可以自己思考，也可以小组相互研究，目的就是让学生灵活应用一次函数的图象与性质，以及数形结合方法，激发学生进一步学习数学的强烈需求，这有利于真正体现学生的主体、教师的主导作用。】

4.练习（题型归纳、整理如下）

（1）已知一次函数y=kx+3经过点（4，-1），求一次函数的表达式。

（2）已知一次函数y=■x+b经过点（2，5），求一次函数的表达式。

（3）已知正比例函数的图象经过点（-2，3），求这个正比例函数的表达式及当x=-■时，y的值是多少？

（4）已知一次函数y=kx+b中，x与y的对应值如右表，求一次函数的表达式；

■

（5）已知一次函数y=kx+b的图象如图4，求一次函数的表达式。

■

【设计意图：在表中、图中读取数据信息是学生学习函数时的一个难点。在解决图象分析题时，教师应多讲对图象的分析方法，引导学生去关注图象中的关键点及其坐标，由形转化为数，建立方程，从而使问题得到解决，真正将数形有机地结合在一起。】

5.学生反馈中的资源在互动中，教师要真诚地倾听学生在课堂中的声音，尤其是学生的见解，体会和把握学生的思维动向，及时敏锐地从学生反馈信息中捕捉有效的教学资源，相机引导。例、习题的互动，是一个完善学生的思维，是纠错解惑的过程，是潜移默化地提高学生思维能力的过程，是让学生了解数学思想方法在解题中的作用的过程。

6.课堂小结

本节课的教学小结应从三个方面归纳学习的收获。

（1）知识与技能方面；（2）过程与方法方面；（3）情感态度价值观方面。

在学生充分表达意见的基础上，教师点明本节课的主要教学内容：

①确定一次函数表达式。

②方法：A.转化，建立数学模型；B.数形结合。

【设计意图：课堂小结可以促进学生梳理本节课的知识，真正将所学知识纳入自己的知识体系中，做到知识内化，转化为能力。】

参考文献：

[1]常磊.如何备好一堂数学课.华东师范大学出版社，2009-10.

[2]王术江，苗春艳.高中数学课堂教学的几点注意.中学数学研究，2012（8）.

（作者单位 广東省东莞市沙田广荣中学）

编辑 温雪莲