基于实数理论的线性空间拓扑性质的比较

吴亚敏

【摘要】本文通过总结比较R，Rn和R∞三个实线性空间的基本性质、连续映射性质和线性系统可解性质，简述线性空间的拓扑性质与其维数紧密相关，进一步加强对无限维线性空间拓扑性质的认识.

【关键词】完备性；可分性；致密性；紧性；闭集套性质；连续映射性质

一、实数空间R

1基本性质

（1）完备性：R的每个Cauchy列都有极限.

（2）可分性：R以可数的有理数集为稠密子集.

（3）致密性或列紧性：任何有界序列必有收敛子列.

（4）紧性：有界闭集的任何开覆盖都有有限的子覆盖.

（5）闭区间套性质：单调减少闭区间簇＼[an，bn＼]的交集非空.

2连续映射性质

（1）线性函数表示：函数f（x）为线性的充要条件是存在常数a使f（x）=ax.

（2）最值定理：连续函数在有界闭区间（闭集）上必取得最大值最小值.

（3）一致连续性质：连续函数在有界闭区间（闭集）上是一致连续函数.

（4）连续函数性质：开区间、闭区间（开集、闭集）上连续函数的原象分别是开区间、闭区间（开集、闭集）.

（5）凸函数定理：区间上的凸函数一定是连续函数.

（6）凸函数性质定理：可微函数是凸函数的充要条件是它的导函数是单调函数.

3线性系统可解性质

（1）线性系统x′（t）=ax（t）+bu（t），t≥0的解为x（t）=eat+∫t0ea（t-r）bu（r）dr，t≥0.

（2）线性系统x′（t）=ax（t），t≥0零解稳定的必要条件是a≤0.

（3）线性系统x′（t）=ax（t），t≥0零解渐近稳定（指数稳定）的充分必要条件是a<0.

（4）函数T（t），t≥0是指数函数的充分必要条件是：

a）T（0）=1，T（T+S）=T（t）T（s）；

b）T（t）在[0，+∞）上连续.

二、n维欧氏空间Rn

1基本性质

（1）完备性：分量的每个Cauchy列都有极限.

（2）可分性：分量以可数的有理数点集为稠密子集.

（3）致密性或列紧性：分量的每个任何有界序列必有收敛子列.

（4）紧性：分量的每个有界闭集的任何开覆盖都有有限的子覆盖.

（5）闭集套性质：分量的每个单调减少闭集簇＼[an，bn＼]的交集非空.

2连续映射性质

（1）线性函数表示：映射F：Rn到R为线性的充要条件是存在常数a使f（x）=（a，x），其中（a，x）为内积；映射F：Rn到Rm为线性的充要条件是存在m×n阶矩阵A使F（x）=Ax.

（2）最值定理：连续函数在有界闭集上必取得最大值最小值.

（3）一致连续性质：连续函数在有界闭集上是一致连续函数.

（4）连续函数性质：开集（闭集）上连续函数的原象是开集（闭集）.

（5）凸函数定理：开集上的凸函数一定是连续函数.

（6）凸函数性质定理：可微函数是凸函数的充要条件是它的导函数是单调函数.