从Zygmund空间到Bloch型空间二阶加权微分复合算子的性质

彭明用，杨丛丽

(贵州师范大学 数学与计算机科学学院，贵州 贵阳　550001)

从Zygmund空间到Bloch型空间二阶加权微分复合算子的性质

彭明用，杨丛丽*

(贵州师范大学 数学与计算机科学学院，贵州 贵阳550001)

摘要：主要讨论了从Zygmund空间到Bloch型空间二阶加权微分复合算子的有界性与紧性，得到了相应的等价条件。

关键词：Zygmund空间；Bloch型空间；二阶加权微分复合算子；有界性；紧性

0引言

我们记Δ为复平面上的单位开圆盘，H(Δ)为Δ上解析函数的全体，对φ，φ∈H(Δ)且φ(Δ)⊆Δ，定义以φ，φ为符号的二阶加权微分复合算子为：φCφD2f=φf″(φ)， 其中f∈H(Δ)。

对f∈H(Δ)，Δ上Bloch空间和α-Bloch空间的定义分别为：

文献[2]在泛数

(1)

与文献[3]在范数

下它们都是Banach 空间。

小Bloch空间与小α-Bloch空间的定义如下：

对f∈H(Δ)，Δ上μ-Bloch空间是指：

对f∈H(Δ)，Δ上的Zygmund空间是指：

由文献[6]中的定理5.3可知：

(2)

在文献[7]中对任意的f∈Z有

(3)

对任意f∈B在文献[8]有

(4)

1主要结果及证明

引理1设φ，φ∈H(Δ)且φ(Δ)⊆Δ，μ是正规函数，那么φCφD2：Z(或Z0)→Bμ是紧的充分必要条件是φCφD2:Z(或Z0)→Bμ有界，对Z(或Z0)中的任意有界序列{fk}k∈N在Δ上内闭一致收敛于0(k→∞)，且‖φCφD2fk‖Bμ→0(k→∞)。

引理1的证明方法和文献[1]中的命题3.11的一样，故略去不证。

定理1设φ，φ∈H(Δ)且φ(Δ)⊆Δ，μ是正规函数，那么以下3个条件等价 :

①φCφD2:Z→Bμ有界；②φCφD2:Z0→Bμ有界；

证明：①⟹②，显然。

(5)

(6)

(7)

那么

(8)

当a∈Δ〗{0}时，设

那么fa(z)∈Z0，从而

(9)

由(8)与(9)可知：

≤C‖φCφD2‖Z0→Bμ<∞

由(5)可知：

C‖φCφD2‖Z0→Bμ<∞

由(7)可知：

故③成立。

③⟹① 对任意的f∈Z，结合③可知：

证毕。

定理2设φ，φ∈H(Δ)且φ(Δ)⊆Δ，μ是正规函数，那么以下3个条件等价 ： ①φCφD2:Z→Bμ紧 ；②φCφD2:Z0→Bμ紧；

证明①⟹②，显然。

结合定理1的证明过程有：

‖φCφD2ln‖Bμ≥|μ(|zn|)|φ′(zn)l″(φ(zn))|-μ(|zn|)|φ(zn)φ′(zn)l‴n(φ(zn))||

则

即我们所求的两个极限存在。

因为φCφD2:Z0→Bμ是紧的，由引理1可知：

③⟹①，因为φCφD2:Z→Bμ有界，由定理1可知：

由引理1可知φCφD2:Z→Bμ紧。

证毕。

参考文献：

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The character of 2-th weighted composition followed and proceeded by differentiation operator from Zygmund spaces to Bloch-type spaces

PENG Mingyong,YANG Congli*

(School of Mathematical and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001,china)

Abstract:This paper mainly discussed the compactness and boundedness of 2-th weighted composition followed and proceeded by differentiation operator from zygmund spaces to Bloch-type spaces ,we obtain corresponding equivalent conditions.

Key words:Zygmund spaces;Bloch-type spaces;2-th weighted composition followed and proceeded by differentiation operator;boundedness; compactness

文章编号：1004—5570(2016)02-0056-04

收稿日期：2015-07-25

作者简介：彭明用(1989-)，男，硕士研究生，研究方向：函数论，E-mail:pmyonng18@163.com. *通讯作者：杨丛丽(1981-)，女，博士，副教授，硕士研究生导师，研究方向：函数论，E-mail:yangcongli@gznu.edu.cn.

中图分类号：O174

文献标识码：A