一道积分极限题的解法一道积分极限题的解法

古晞 江开忠

【摘要】本文讨论了一道积分极限题的解法.

【关键词】高等数学；积分；极限

同济大学2013—2014学年第一学期期末考试当中有一道题：

计算极限I=limx→0∫xln（1+x）（1-2t）1tt2.

这是一道积分极限题，放在最后一道，当然是有些难度的，批改下来发现确实很少有学生能完整地给出解答，有些学生是这样解题的：

I=limx→0∫xln（1+x）e-2t2dt=e-2limx→0∫xln（1+x）1t2dt=e-2limx→01ln（1+x）-1x=e-2limx→0x-ln（1+x）xln（1+x）=e-2limx→0x-ln（1+x）x2=e-2limx→01-11+x2x=12e2.

这样做和最后的答案是一致的，但却是错误的解法.原因在于先将积分号里的分子用极限的结果来代替，将这个常数结果提到积分号外面来，从而方便地用牛顿—莱布尼兹公式求出原函数在上下限的差，再利用洛必达法则轻松地求出结果.但积分号里的分子分母同时含有积分变量，先求分子的极限忽略分母当然是没有道理的，所以即使结果正确，我们也判其为零分.正确的解法是先利用中值定理：