高中数学立体几何问题的解析方法探讨

史洪波

【摘要】在高中阶段，我们不可避免的会学习立体几何，立体几何作为我们高考中比较重要的一门学科。它与向量运算函数、解析几何和三角运算有着非常紧密的联系，同时它也是近年高中大大小小考试的新宠，但是它也是高中时期的一个难点，空间解析几何这门学科中的线面关系和向量运算是立体几何问题解决的一个有利途径。

【关键词】高中数学 立体几何 解析方法

【中图分类号】G633.63 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）02-0150-02

夹角、距离、垂直、平行等是立体几何中需要解决的核心问题。一般的解决立体几何方法主要根据定理和概念、凭借各种几何图形的不同分割、利用逻辑思维对空间的理解作为考查点，需要考生判断它们的潜在意义。关系、指示代词、一词多义也是各类考试中常客。面对这类问题我们要特别注意关系和指示代词的潜在意义。如碰到结构复杂的句子，那我们更该注意其中的指示代词。

1.利用函数思想解决立体几何问题

所谓函数的思想，就是根据变化和运动的观点，钻研和分析立体几何数学中的数量关系，建立函数之间的关系或是构造函数，根据函数等价的图形和性质去分析问题、转化为待求问题，进而解决问题。函数的思想其实就是对函数基本概念的理解，用于指导学生解题，经常利用函数的观点观察、分析和解决问题，会对学生遇到的几何问题有很大的提升，使他们的逻辑思维能力得到锻炼；对于高中数学而言，函数思想在几何解析过程中的作用主要体现在以下两个方面：一是在几何问题的分析中，通过建立函数之间的关系式或构造中间函数，把待解决问题转化为分析相关函数的有关性质，达到化繁为简的目的；二是利用相关函数的性质，解函数值、证明不等式、解方程以及分析相关参数的取值范围等几何或是数学问题。

例题分析：如图， PA垂直于圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上任一点，设∠BAC=？琢，PA=AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。

分析：异面直线AC和PB之间的距离可以看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数进而求目标函数的最小值。

解析：在PB上任取一点M，作MD上AC于D，MH上AIB于H，

设MH=x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD，

MD2=x2+[（2r-x）sin ？琢]2

=（sin2 ？琢+1）x2-4rsin2？琢x+4r2sin2？琢

=（sin2？琢+1）[x-2rsin2？琢/1+sin2？琢]2+4rsin2？琢x/1+sin2？琢

即当x=2rsin2？琢/1+sin2？琢时，MD取最小值，■为两异面直线的距离。

对以上题型的分析：本题的思路是将立体几何中的“两条异面直线之间的距离”转化成“求两条异面直线上两点之间距离的最小值”，并设定匹配的变量将几何问题变成代数中的“函数问题”。一般而言，针对求最小值、最大值的实际问题，首先应该将文字解释转化为数学术语后，然后再建立相应的数学模型和对用的函数关系式，最后利用函数的性质、重要的不等式和相关代数和几何知识进行解答。

2.利用空间几何思想解决立体几何中平行与垂直的问题

空间几何图形的平行关系有线与面平行、线与线平行、面与面平行。可以分别转化为向量平行、向量共面和垂直问题来解决。

设平面？仔的法向量为■，直线？謀的方向向量为■，两直线 ？謀m和？謀n的方向向量为■和■。平面？仔1和？仔2的法向量为■和■，则上述问题的向量之间的关系可以表示为：

？謀m//？謀n？圳■//■？圳k■，k∈R（线线平行）；

？謀//？仔？圳■⊥■=0，或■与？仔内的两个相交向量■、■共面。（线面平行）；

？仔1//？仔2？圳■//■？圳m2=k■，k∈R（面面平行）；

空间几何图形的垂直关系有线与面垂直、线与线垂直、面与面垂直。我们可以分别把它们转化为向量垂直和向量平行问题来解决。

？謀⊥？仔？圳■//■？圳■=k■，k∈R，且■与？仔内的两个相交向量■、■垂直。即■·■=0，■·■=0（线面垂直）；

？謀m⊥？謀n？圳■⊥■？圳■·■=0（线线垂直）；

？仔1⊥？仔2？圳■⊥■？圳■·■=0（面面垂直）。

3.利用空间几何思想来分析空间图形间的距离和夹角

二面角的平面角、立体几何中的异面直线之间的夹角、直线与相应平面的夹角的确立在向量运算中我们可以按照下面的方法来分析。

两直线？謀m和？謀n的方向向量■和■的夹角（一般是指锐角）叫做两条直线的夹角。根据公式cos？兹=cos■，■=■确定。

设直线？謀与它在平面？仔上的投影夹角为？兹。因为？兹=■-■，■，所以sin？兹=cos■，■=■。

设两平面的夹角为？兹，两平面？仔1和？仔2的法向量为■和■当0≤■，■≤■时，两平面的夹角为■，■，当■<■，■≤？仔时，两平面的夹角为？仔-■，■。所以cos？兹=cos■，■=■。

平面外一点到平面的距离：设P为平面？仔外一点，■为的？仔法向量，A为平面内任一点，■与？仔的夹角为d=■Sin？渍=■cos■，■=■。则d=■Sin？渍=■cos■，■=■。即■在■上投影的绝对值。

异面直线问的距离：设异面两直线？謀m和d=■的方向向量为■和■。为与？謀m、？謀n垂线共线的向量。由■⊥■1？圳■·■1=0，■⊥■2？圳■·■2=0。解得■。

在？謀m和？謀n上分别取点A和B。则■在■上投影的绝对值即为所求即d=■。

4.利用空间几何思想来解决立体几何中动态的问题

在我们遇到的立体几何问题中，除了一成不变的面与面、线与面、线与线间的垂直、平行、距离、夹角间的常见问题外，偶尔还会遇到很多关于“动态”的线、点、面这些元素的问题。相对那些常规问题，这些问题经常更具有挑战性和灵活性。利用空间几何思想我们可以使这些看上去无法入手的立体几何复杂的问题迎刃而解。

5.总结

根据以上分析可以看出，我们谈论的用空间解析几何的思想即向量方法来处理立体几何问题是非常方便和有效的。其中关键的部分是根据几何图形中的平行、垂直、相交等关系，建立合适的空间直角坐标系，可以利用立体几何图像中所涉及的东西表示向量，从而使立体几何问题中的线与线之间的关系和线与面之间的关系，以及距离和夹角问题适当的转化为向量间的相应关系处理，最后再把向量之间的运算结果来表示相应的立体几何问题。

参考文献：

[1]李锐.现代教育技术与空间解析几何教学整合的研究.中国电力教育，2010，（34）：91-92.

[2]周涛.向量在立体几何中的应用[J].中国校外教育，2012，（10）：129-130.

[3]杜志建.金考卷特快专递[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2012.