由一道几何题的多证引发的对辅助线作法的思考

蔡菲

【摘要】 好的练习题是一种难得的教学资源，蕴含着很高的教学价值.其中存有多种解法的题就是一类比较好的题目.通过对此类题目的多维度解答，可以很好地培养学生发散性思维能力以及分析问题、解决问题的能力.

【关键词】 一题多证；辅助线；思考

几何证明题一直是初中数学的重点和难点，但这部分内容却让很多学生感到头疼.究其原因有以下几点：第一，辅助线的添加具有一定的难度；第二，对已学的定理、推论等掌握不够牢固；第三，不能准确地将题目中所提供的信息与自己已有的知识建立一定的联系；第四，问题分析能力的不足.那么教师怎样通过对题目的解答来引导学生提高分析问题的能力和归纳总结能力呢？下面就以一道多证题为例，谈谈证明题中关于辅助线的作法.

一、题目及多证

如图1， 在△ABC中， AB=AC， F是AC上的点， 在BA的延长线上取一点E使AE = AF，连接EF并延长交BC于点D， 求证：EF⊥BC.

方法一：作∠BAC的角平分线交BC于G.

如图2所示.

∵ AE = AF，

∴ ∠AFE = ∠E， ∠BAC是△AEF的外角.

∴ ∠BAC = ∠AFE + ∠E = 2∠AFE.

∵ AG平分∠BAC，

∴ ∠BAC = 2∠GAC.

∴ ∠GAC = ∠AFE.

∴ AG∥ED.

∵ AB = AC， AG是∠BAC的角平分线，

∴ AG⊥BC.

∴ ∠FDC = ∠AGC = 90°.

∴ EF⊥BC.

评析 通过作角平分线来构造两个相等的角，再利用等腰三角形顶角的角平分线也是底边的高这一性质，最终得出EF⊥BC.

方法二： 取线段EF的中点H， 连接AH，如图3所示.

∵ AB = AC，

∴ ∠B = ∠C.

∵ ∠EAF是 △ABC的外角，

∴ ∠EAF = ∠B + ∠C = 2∠C.

又 ∵ AE = AF，FH = EH，AH = AH，

∴ △AHF ≌ △AHE.

∴ ∠EAF = 2∠HAF.

∴ ∠C = ∠HAF.

∴ AH∥BC.

∵等腰△AEF中，FH = EH，

∴ ∠AHF = ∠FDC = 90°.

∴ EF⊥BC.

评析 通过作线段的中点来构造两段相等的线段，从而为证明两个三角形全等提供了条件.

方法三： 过点C作MC⊥BC于点C， 交BA的延长线于点M， 如图4所示.

∴ ∠M + ∠B = 90°，

∠MCA + ∠ACB = 90°.

又 ∵ AB = AC，

∴ ∠B = ∠ACB.

∴ ∠M = ∠MCA.

∵ ∠BAC是△ACM的一个外角，

∴ ∠BAC = ∠M + ∠MCA = 2∠M.

∵ ∠BAC是△AEF的一个外角，

∴ ∠BAC = ∠AEF+∠AFE.

∵ AE = AF，

∴ ∠AEF = ∠AFE.

∴ ∠BAC = 2∠AEF.

∴ ∠M = ∠AEF.

∴ EF∥MC.

∴ ∠EDB = ∠MCB = 90°.

∴ EF⊥BC.

评析 通过作已知直线的垂线，可以构造一个直角三角形，而在直角三角形中不仅可以得到两锐角之和为90°，而且可以得到两条相互垂直的线段.

方法四： 过点E作EP∥AC， 交BC的延长线于点P， 如图5所示.

∴ ∠P = ∠ACB.

∵ AB = AC，

∴ ∠B = ∠ACB. ∴ ∠B = ∠P.

∴ EB = EP.

∴ △EBP是等腰三角形.

∵ AE = AF，

∴ ∠AEF = ∠AFE.

又 ∵ AC∥EP，

∴ ∠AFE = ∠FEP，∠AEF = ∠FEP，

即ED是等腰三角形EBP的顶角平分线.

∴ ED⊥BP， 即EF⊥BC.

评析 通过作已知线段的平行线来证明两个角相等，再利用等腰三角形顶角的角平分线也是底边上的高这一性质，最终得到EF⊥BC.

二、归纳及思考

通过对上述题目的解答和评析能够得出以下几种常见的辅助线作法：

1. 作角平分线

通过作角平分线，一方面可以得到两个相等的角，另一方面，我们知道角平分线上的点到角两边的距离相等，这样可以很好地构造出两个全等的三角形.所以当题目中涉及角之间的关系时，我们常用这种辅助线的作法.

2. 取线段的中点

取线段的中点有两种作法.第一，取已知线段的中点；第二，将已知线段的一个端点作为中点，对线段进行延长，使所得的线段变为原线段的两倍；第三，取三角形任意两边的中点，并将两中点连接，再根据题意对中位线的性质进行选用.若题目中出现线段之间的等量关系，我们首选的就是这种辅助线的作法.

3. 作垂线

过一点作已知线段的垂线，这样可以构造一个直角三角形，进而我们根据题意利用有关直角三角形的性质来解题.这种辅助线的作法常用在以下几种题型中：第一，求两锐角之和等于90°；第二，求证两线段互相垂直；第三，求证几条线段之间存在的数量关系.

4. 作平行线

通过作已知线段的平行线我们不仅可以得到一些角的等量关系，而且可以得到一些线段的比例关系.若题目要求证明线段的比例关系或者两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积应首选这种辅助线的作法.

总之，在几何证明题中，恰当地添加辅助线至关重要.学生应该在做题的过程中，总结添加一些辅助线的基本规律，对于一些非常规的题目，要善于联想，善于结合，把题设、结论，用已学知识联系起来，找到突破口，从而成功地添加辅助线.