数学习题在教学中的作用

解伟国

摘要：数学习题是教学中的重要组成部分，是学生巩固和消化所学知识并转化成为技能的重要环节，它在教学中起着举足轻重的作用。本文主要通过知识功能、教育功能、智育功能和评价功能对习题的作用进行了阐述。

关键词：知识功能；教育功能；智育功能；评价功能

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)07-0144

习题是数学课本中的重要组成部分，训练得好坏，直接影响到学生学习质量的高低，许多优秀数学教师的教学质量之所以高，一部分原因也是由于习题选择和处理得恰当。当代著名数学教育家波利亚(G·Polya)强调指出：“中学数学教育的首要任务就是加强解题训练。”要知道，习题训练是学生牢固掌握数学基础知识的必要途径，也是运用知识和进行独立思考来培养基本技能的重要手段。下面笔者谈谈数学习题在教学中的几个作用：

一、知识功能

通过数学习题，学生能获得系统的数学知识，形成必要的技能技巧。

1. 在引入新知识中的作用

学习新知识，最重要的是建立在旧知识之上，奥贝尔(D·P·Ausubel)曾指出：“影响学习的最重要的因素，是学生已经知道了什么，根据学生的原有状况进行教学。”在原有知识上提出问题，引起学生思考，产生疑问，从而激发学生的求知欲，这即是“学起于思，思源于疑，”在这个过程中，习题是架设在新旧知识之间的桥梁。如在教学二次根式加减时，教师可先提出题目，计算3x-2x，4x2+7y2-2x2，并说出整式加减的计算法则，再提出问题，把3x-2x改为3-2呢？观察比较原有式子与改后式子有什么异同？如何计算？造成学生“心求通而未能得，口欲言而不能说”的情势，从而激发学生探索新知识的欲望和思维的积极性，为教学创设最佳情境。此外，在学习新知识时，学生对旧知识的练习，可以使这些知识得到进一步的巩固，从而为新知识的教学作好铺垫作用。

2. 在巩固知识中的作用

巩固知识不仅靠死记硬背，更主要的是理解，使学生不但知其然，而且知其所以然，便于记忆和应用。在教学数学概念时， 教师让学生理解概念，实质上是帮助学生弄清事物之间的本质特点。例：“判断是否为无理数？”这样的习题，学生错误率较高，为使学生进一步理解无理数这个概念，教师可辅以“什么是无理数？”“无理数通常有哪几种形式？”“有理数与无理数有什么区别？”等问题，对概念进行比较辨析，从而达到知识的同化与内化。

布鲁纳说过：“领会基本的原理和概念，看来是通向适当的‘训练迁移的大道。”新旧知识、技能之间存在相同或相似的因素，是产生迁移的客观因素，它们之间的共同因素越多，迁移就越容易产生。学习者自身的分析、概括能力则是产生迁移的主观因素，分析、概括能力水平越高，也就越容易产生迁移。古人所发现的举一反三、触类旁通就是迁移在学习过程中的表现。例：“305的78倍是多少”与“一个数的78倍是23790，这个数是多少”的问题列算式时，两者总是混淆。事后发现，学生学习了“求一个数的几倍是多少”用乘法计算后，再学习“已知一个数的几倍是多少，求这个数”时，这些学生是把在旧学习情境中建立起来的情境，迁移到新的学习情境中去，加上在练习时，没有审清题意所致。因此，学生要通过数学习题的练习、观察、比较、概括来巩固概念。

3. 在应用知识中的作用

学生通过解题，使掌握的数学概念、定理、公式得到进一步的应用。

例1：已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，EC⊥BC，且EC=BD，求证：AE∥BC。

要证明此题，涉及到的知识点有等边三角形的性质、中点的定义、垂直定义、三角形全等的判定定理和性质定理、平行线的判定定理。

例2. 种粮大户陈大伯有两块地，第一块50公亩，共收粮6.5吨，第二块地30公亩，共收粮47吨，陈大伯家这两块地平均产1吨粮要多少公亩地？

要解答此题，涉及到的知识点有对平均数的理解，总数、份数、每份数之间的数量关系，及总数与部分之间的数量关系等。

通过练习，学生可以增强分析问题和解决问题的能力，对基础知识有进一步的掌握，并会正确、合理、熟练地应用，形成一定的技能技巧。

二、教育功能

辛钦曾指出，数学课程对形成学生的性格和道德个性方面有巨大的作用，对于一个数学习题的解答，一般没有正确与错误之争，而只有好与不好的问题，数学的真理性的这种不可争辩性，包含着巨大的教育价值。

例如：在四则混合运算教学时，可先从故事引入，200多年前，德国大数学家高斯才10岁时，教师出了一道算式：1+2+3+…+100=？当别的学生才加了几个数时，小高斯马上算出答案是5050。为什么这样快就算出来呢？小高斯不是按运算顺序逐一相加，而是把100个数的首和尾依次加起来，即1+100，2+99，…，50+51，共50对，总和是101×50=5050，小高斯采用首尾结合，变加为乘的方法使运算简便。

又如：到第十一个五年计划未，我国高速公路增加到74000千米，比第十个五年计划未的1.8倍还多200千米，求“十一五”期间新增高速公路多少千米？

教师通过习题的引入和练习，可以培养学生思维的敏捷性以及独立思考、克服困难的精神，同时又可以向学生进行辩证唯物主义世界观的教育，了解传统数学的成就，以及科学技术文化的发展成就，对学生进行国情教育和爱国主义教育，有助于爱国主义思想的培养。

数学习题的教育功能还在于它能给学生以美的陶冶，数学习题的条件具有和谐性、独立性；形式的对称性、图形的完美性；解法的合理性、简练性和独创性这些特征无不体现了数学的统一美、简单美和奇异美。法国启蒙思想家狄德罗说：“所谓美的解答过程，是对困难复杂问题的简单回答。”如轴对称图形、正三边形、正六边形、椭圆等图形的均称性；鸡兔同笼问题的趣味性等，都给予人美的享受。

三、智育功能

通过数学习题的解答，学生可以牢固地掌握数学的基础知识和基本技能，形成科学的思维习惯，激发强烈的应用意识及创造能力，并获得发展推理能力、化归能力和数学建模能力，以及运用方程、不等式和基本平面图等数学观念的能力。

例1. 如图，计算环形的面积(单位：厘米)

外圆周长C=37.68 ，其中π取3.14

此题综合运用旧知识，巩固新知识，既求同又求异。

例2. 一个直径为10米的圆形花坛的外面，修一条宽2.5米的水泥路，这条水泥路的面积是多少平方米？

此题培养了学生的空间想象力和运用知识解决实际问题的能力。

例3. 已知外圆的半径是20厘米，环形的面积为96平方厘米，求内圆的面积。

此题培养了学生灵活运用知识的能力，形成技能技巧，培养学生的逆向思维。

例4. 如图，D、E是△ABC中BC边上的两点，(1)若已知AD=AE，要得到△ABE≌△ACD，还应补充一个什么条件？

(2)若已知AB=AC，AD=AE，可证得哪几对三角形全等？并分别写出证明。

此题综合运用知识，培养学生的发散思维和创造力。

总之，教师通过数学习题教学，可以使学生开拓了智力、培养了能力、增强了空间观念、发展了思维，形成了一定的技能技巧。

四、评价功能

检查与评定学生的学业成绩是整个教学工作不可缺少的一个环节，对教与学双方都具有重要意义，一般是通过解题来完成。评定的内容有两个方面，一是知识水平；二是能力水平。

目前，我国中小学数学的考评，以考查知识水平为主，通常通过做试题的形式完成。试题中习题选择要符合教学大纲的要求，重视知识广度、深度和运用知识解决问题的熟练程度。某学生在一次考试中，数学得了85分，单这一分数本身而论，并没有什么意义，如与其他学生相比，就可以说明属于好、中、差哪一个等级；或与笔者过去的数学成绩相比，说明是进步还是退步等。教师还可以设计好习题内容，通过课堂提问、检查书面作业、板演等方法了解学生的学习情况。

考查学生的能力水平，可以在数学习题练习中得到体现，通过解题来检查学生的运算能力、逻辑思维能力和空间观念，以及分析问题和解决问题的能力。要考查能力水平的试题，如竞赛题，美国的SAT测试题等；要测试学生动手操作能力，可让学生量出18.5cm×26.0cm的数学课本、2m×0.9m的门框的长与宽，并算出面积，教师可根据下表来测定学生的能力水平。

总之，数学习题在教学中具有举足轻重的作用，学生正确地理解习题的重要性，有助于提高教学质量，培养学生的各种能力，促进学生思维发展。