构造法在初中数学解题中的应用

肖学仕

【摘要】 构造法是一种重要的数学解题方法，在解题中被广泛应用. 构造法是一种极其富有技巧性和创造性的解题方法，特别是有些问题，用构造法更简洁明了. 本文简单阐述了构造法的概念，重点论述了构造法在初中数学解题中的运用. 【关键词】 初中数学；构造法；解题法

构造法是根据题设的特点，用已知条件中的元素作为“元件”，用已知的关系式为“支架”，通过观察、联想，采用新的设计，构造出一种新的问题形式，从而绕过解题障碍，使问题得到解决的一种方法.

1. 构造函数

在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想组合一种新的函数关系，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段. 构造函数证（解）问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性，在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要证、要解的目标.

例1 （八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品，共50件. 已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元.

（1）按要求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；

（2）设生产A，B两种产品获总利润为y（元），生产A种产品x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

解 （1）设需要生产A种产品x件，那么需要生产B种产品（50 - x）件，由题意得：

9x + 4（50 - x） ≤ 360，

3x + 10（50 - x） ≤ 290，

解得：30 ≤ x ≤ 32.

∵ x是正整数，

∴ x = 30或31或32.

∴有三种生产方案：

① 生产A种产品30件，生产B种产品20件；

② 生产A种产品31件，生产B种产品19件；

③ 生产A种产品32件，生产B种产品18件.

（2）由题意得：y = 700x + 1200（50 - x） = -500x + 60000.

∵ y随x的增大而减小，

∴ 当x = 30时，y有最大值，最大值为：y = 45000（元）.

答：y与x之间的函数关系式为：y = -500x + 60000，（1）中的方案①获利最大，最大利润为45000元.

2. 构造方程

根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后依据方程的理论，往往能使问题在新的关系下得以转化而获解. 如列方程解应用题、求动点的轨迹方程等即属此法.

构造方程解題体现了方程的观点，运用方程观点解题可归结为三个步骤：

A. 将所面临的问题转化为方程问题；

B. 解这个方程或讨论这个方程的有关性质（常用判别式与韦达定理），得出相应结论；

C. 将方程的相应结论再返回为原问题的结论.

（1）某些题目根据条件，仔细观察其特点，构造一个“一元一次方程”求解，从而获得问题解决.

例2 设a > b > c且a + b + c = 1，a2 + b2 + c2 = 1，求a + b的范围.

解 由a + b + c = 1得a + b = 1 - c.①

将①的两边平方并将a2 + b2 + c2 = 1代入得ab = c2 - c.②

由①②可知，a，b是方程x2 + （c - 1）x + （c2 - c） = 0的两个不等的实根，

于是Δ = （c - 1）2 - 4（c2 - c） = -3c2 + 2c + 1 > 0，

解得：- < c < 1.

即：- < 1 - （a + b） < 1，

∴ 1 < a + b < .

（2）有些问题直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造“一元二次方程”，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决. 此方法简明，功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用.

例3 已知实数x，y，z满足x + y = 5，z2 = xy + y - 9，求x + 2y + 3z的值.

思考与分析 根据本题的题设可能使我们联想到韦达定理，但仍需进行合理的变形，才能构造出方程组去求解.

解 由已知可得：（x + 1） + y = 6，

（x + y）y=z2 + 9.

以x + 1，y为两实数根，构造方程t2 - 6t + z2 + 9 = 0.

∵方程有实数根，

∴ Δ = （-6）2 - 4（z2 + 9） = -4z2 ≥ 0，

由此得到z2 = 0，且Δ = 0.

∴ 方程t2 - 6t + 9 = 0有两个相等的实数根，

∴ t1 = t2 = 3.

于是x + 1 = y = 3，

∴ x = 3，y = 3，z = 0.

∴ x + 2y + 3z = 2 + 2 × 3 + 0 = 8.

从以上各例不难看出，构造法解题有着你意想不到的功效，问题很快便可解决. 构造法解题重在“构造”， 通过仔细地观察、分析，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件. 因此，在解题时，若能启发学生从多角度、多渠道进行广泛的联想，就会得到许多构思巧妙、新颖独特、简洁有效的解题方法，而且能加强学生对知识的理解. 运用构造法解题能培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力，也可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣.