巧解几何体的外接球问题

乔晓林

摘要：在近几年的高考中，经常出现几何体的外接球问题。为了使学生能够很好地解决此类问题，本文在已有几何体的基础上，结合具体的例题，归纳了此类问题的解题方法。

关键词：几何体；外接球；转化

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0147

一、正方体的外接球

外接球的直径为正方体的体对角线。

设正方体的棱长为a，则外接球的直径为■a。

二、长方体的外接球

外接球的直径为长方体的体对角线。

设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，则外接球的直径为■。

三、三棱锥的外接球

1. 正四面体：转化为正方体的外接球。

方法：如图所示正四面体ABCD的外接球，可转化为正方体的外接球。

例1. 一个四面体的所有棱长为a，四个顶点在同一个球面上，求该球的表面积。

分析：求该球的表面积关键是找半径；该四面体为正四面体，如图所示，将正四面体ABCD的外接球转化为正方体的外接球，球的直径为正方体的体对角线；因此先由正四面体的棱长求正方体的棱长，再求正方体的体对角线。

答案：■a2π。

变式：如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2，DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，求三棱锥P-DCE的外接球的体积。

分析：折起后可证明三棱锥P-DCE为正四面体，因此可转化为求正方体的外接球。

答案：■π

2. 有三个面是直角三角形的三棱锥：转化为正方体或长方体的外接球

方法：如图所示，在有三个面是直角三角形的三棱锥P-ABC中，若PA=PB=PC，则转化为正方体的外接球；若PA，PB，PC不全相等，则转化为长方体的外接球

例2. 已知三棱锥P-ABC，∠BPC=90°，PA⊥平面BPC，

其中AB=BC=AC=a，P，A，B，C四点均在球的表面上，求该球的表面积。

分析：三棱锥P-ABC有三个面是直角三角形，且PA=PB=PC，因此可转化为正方体的外接球，且正方体的面对角线长度为a，则正方体的棱长为■a，由此求出体对角线即为正方体的外接球直径。

答案：■a2π。

变式：已知正方形AEFG的边长为4，B，C分别为EF， FG的中点，将AB，BC，CA折叠成一个三棱锥P-ABC（使E，F，G重合于点P），求三棱锥 P-ABC的外接球的表面积。

分析：如上图所示，PA=4，PB=PC=2，所以三棱锥P-ABC的外接球是以PC，PB，PA为长，宽，高的长方体的外接球。

答案：24π。

3. 有四个面是直角三角形的三棱锥：转化为正方体或长方体的外接球

方法：如图所示，在有四个面是直角三角形的三棱锥A-PBC中，若AP=PC=BC，则转化为正方体的外接球；若AP，PC，BC不全相等，则转化为长方体的外接球。

例3. 已知球O的表面上有四个点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=■，求球O的体积。

分析：三棱锥D-ABC中有四个面是直角三角形，且DA=AB=BC，因此可转化为正方体的外接球，则体对角线即正方体的外接球直径为■。

答案：■π。

变式：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=■，BC=1，DA⊥平面ABC，DA=■，求三棱锥D-ABC的外接球的体积。

分析：如上图所示，DA=■，AB=■，BC=1，所以三棱锥D-ABC的外接球是以DA，AB，AC为长，宽，高的长方体的外接球。

答案：■π

4. 对棱相等的三棱锥：转化为长方体的外接球

方法： 如图所示，在三棱锥A-BCD中，

所有对棱相等，即AC=BD，AD=BC，AB=CD

则三棱锥A-BCD的外接球可转化长方体的外接球.

例4. 在四面体ABCD中，AB=CD=3■，AC=BD=AD=BC=3，求该四面体的外接球的表面积。

分析：四面体ABCD对棱相等，因此可转化为长方体的外接球. 假设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，则由a2+b2=9，c2+b2=18，c2+a2=9，得a2+b2+c2=36即长方体的体对角线长度为6。

答案：36π。

变式：上述条件改为“AB=CD，AC=BD，AD=BC，并且AB⊥CD，AC⊥BD”，则三棱锥为正四面体，因此可转化为正方体的外接球。

5. 底面是直角三角形，侧面均是等腰三角形且一个侧面与底面垂直的三棱锥。

方法：找截面

例5. 一个几何体的三视图如下图所示依次为正视图，侧视图，俯视图，正视图是一个正三角形，求这个几何体的外接球的表面积。

分析：由题可知几何体为如图所示的三棱锥，底面是直角三角形，其余面为等腰三角形。

在Rt△ABC中，E为中点且SE⊥平面ABC，过底面ABC作三棱锥外接球的截面，则E为截面圆的圆心。因此球心一定在SE上，设球心为O，连接OB，在直角三角形OEB中可求得外接球的半径。

答案：■π。

四、三棱柱的外接球

1. 底面是直角三角形的直棱柱：转化为正方体或长方体的外接球。（或者过上下底面作外接球的截面，截面圆圆心连线的中点为球心）（如右图）

例6. 已知直三棱柱ABC-A1B1C16个顶点都在球O的表面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，A1A=12，求该球的半径。

分析：如右图所示，两种方法都可以。

答案：■。

2. 直三棱柱：过上下底面作截面，找截面圆的圆心（求半径，可考虑正弦定理），球心为截面圆圆心连线的中点。在球心，圆心，顶点构成的直角三角形中求外接球的半径。

例7. 三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为2■，顶点在一个球面上，求该球的表面积。

分析：分别上下两底面作截面，截面圆的圆心为三角形的重心。

答案：28π。

五、圆锥的外接球

过顶点作底面的截面（截面与底面垂直），截出的等腰三角形外接圆的圆心为球心

例8. 已知一个几何体的正视图及侧视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，求该几何体的外接球的表面积。

分析：由题可知，△SAB为等边三角形，O为其外接圆的圆心。在Rt△OBC中求出OB，即为外接球的半径。

答案：■π。

六、圆柱的外接球

上下底面圆心连线的中点为球心

例9. 已知圆柱的底面半径为2，高为6，求圆柱的外接球的体积。

分析：如图所示，上下底面圆心连线的中点O为外接球的球心，在Rt△O1OA中， OA=■

答案：■■π。

（作者单位：内蒙古包头市一机一中 014000）