让图形动起来

高晓红

【摘要】 图形变换在新课程标准中占有重要地位，它对于学生的动手操作能力、空间想象能力具有极强的考查作用. 本文分析了旋转题型的特点，阐述了几何旋转题型在教学中应该由浅入深，逐渐增加综合性和变化，以锻炼学生的想象力和思维能力.

【关键词】 初中几何；图形；旋转；变式

初中几何题中，学生最头疼的莫过于添加辅助线了，如果再加上旋转，学生就会更加不知所措，无从下手. 几何图形经过旋转，会出现丰富的变化，对于开发学生的想象力、锻炼学生的思维能力、提高学生的创造力和解决数学实际问题的能力具有很大的作用[1].

旋转在几何中属于全等位移，尽管图形的位置发生了变化，但是图形的形状、大小都没有变，因此，在实际的教学过程中，教师要教会学生抓住旋转的本质，即从“动”中找到“不动”，从而解决问题.

平移和旋转也是近年來中考题中经常出现的一类问题，并且往往作为压轴题出现. 总的来说，旋转可以是绕一点旋转，也可以是绕一个轴旋转. 教师在进行这类题目教学时，一定要循序渐进，先让学生从一些基本题型中找到旋转中不变的量.

一、基础入手，发现本质，归纳方法

首先，旋转是图形之间主要的变换方式之一，主要考查学生的动手操作能力、空间想象能力等，对于学生的综合运用能力和创新能力的培养也具有重要意义，因此，这类题型也越来越成为中考题的热点.

教师在刚刚进行旋转教学时应该从基础入手，让学生在解决问题中明白，旋转是指图形中的每个点都绕中心旋转了相同的角度，组成图形的线段长度及角度都没有发生变化，图形的形状、大小也没有发生变化.

如：如图1，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，则：（1）旋转中心是____；（2）旋转角度是____；（3）△ADP是____三角形.

二、利用旋转的特征解决实际问题

学生通过练习，掌握了旋转的基本特征后，教师可以选择一些稍微综合些的题，锻炼学生解决问题的能力.

例如：如图2，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP = 3，求PP′的长.

解法：∵ △ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，

∴ AP′=AP，∠CAP′=∠BAP.

∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC = 90°，△PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边.

此题中，不但有旋转的知识，还融合了勾股定理的知识，考查的知识点有两个，因此综合性更强.

再如：如图3，直线y = 2x + 2与x轴、y轴分别交于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A1OB1.

（1）在图中画出△A1OB1；

（2）设过A，A1，B1，三点的函数解析式为y = ax2 + bx + c，求这个解析式.

解法：（1）如图4所示.

（2）由题意知A，A1，B1三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），（2，0），

∴0 = a - b + c，1 = c，0 = 4a + 2b + c.

本题中旋转和一次函数知识相结合，综合了数形问题，是旋转和数形结合的较简单题型.

三、利用旋转的特征，展开旋转变化，锻炼学生的思维能力

由于旋转蕴含很多隐含条件，因此也成为中考题的宠儿，数学专家也常常利用旋转的特性构建中考题.

例如：如图5，已知△ABC中，AB = BC = 1，∠ABC = 90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.

（1）在图5中，DE交AB于M，DF交BC于N.

① 证明DM = DN；

② 在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积.

（2）继续旋转至如图6的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM = DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）继续旋转至如图7的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM = DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明.

当然，旋转问题因为涉及的知识较多，对学生的综合能力及空间想象力要求较高，不是通过一两道题就可以达到锻炼目的的，这需要教师由浅入深，一步步慢慢展开旋转题型的解法和本质，使学生面对旋转不再害怕.