基于广义知识观的数学课堂教学策略

周丽娜

【摘要】 广义的知识可分为陈述性知识和程序性知识两大类，陈述性知识以命题和命题网络表征，程序性知识以产生式和产生式系统表征，整块的知识以图式表征.根据广义知识的表征特点，选择的数学课堂教学策略是：构建网络化的认知结构，精致练习，有意识地教学策略性知识.

【关键词】 广义知识；陈述性知识；程序性知识；教学策略

數学知识包括：数学的概念和原理（包括性质、法则、公式、公理、定理等），由内容所反映的数学思想方法，按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、推理、作图、绘制图表等数学技能.其中数学概念、数学原理对应于陈述性知识，数学思想方法和数学技能对应于程序性知识，其中数学技能对应于智慧技能，数学思想方法对应于策略性知识.

一、构建网络化的认知结构

网络化的认知结构是指储存于学生头脑中的、由子系统网络编织成一张庞大、严密、有序、立体的数学知识网络.它不仅含有知识点的网络结构，而且含有解决问题的方法与步骤等交织在一起的“图式”.现代认知心理学的研究表明，当知识以一种层次网络的方式进行排列时，就可以大大提高知识的检索效率，越居于高层次的节点，其抽象水平越高，适应范围越广，容量也越大，因而具有更大的迁移性，从而达到举一反三的效果.那么，在数学教学中，怎样帮助学生构建网络化的认知结构？

在知识点的教学中，不仅要让学生学懂一个知识点，而且要了解这个知识点所处的“环境”，就是前后、左右、上下的内容﹒例如，异面直线所成的角，它的前面内容是两条相交直线所成的角，后面内容是直线和平面所成的角，上、下内容是异面直线的定义和异面直线之间的距离，左、右内容是用平面几何中的角来刻画异面直线所成的角和怎样作出、求出异面直线所成的角.重视知识点的“环境”，使各个知识点的位置得到合理的分布，当提取一个知识点时，相关的一些知识点也被激活.学习了多个知识点后，要指导学生进行“点”“线”加工.例如，学习了“函数及其表示”后，指导学生编织这部分内容的结构图：

使这些知识点的关系更加完善和牢固，从而形成知识网络系统中的子系统.

在单元复习课的教学中，通过“由理到题”（即按本单元的概念法则原理，逐一举例）或“由题到理”（可通过解题，总结本单元的概念法则原理）的复习方式来引导学生对已学知识的回顾，在此基础上，放手让学生通过建构网络化的知识结构将该单元的知识点科学地、有序地、有机地联系起来，以充分体现各知识点承前启后、上下呼应、左右逢源的关系.

最后，通过一章一小结、一本书一中结、高三复习一大结的系统化复习，把各个已编织的子系统编织成更庞大、严密、有序、立体的数学知识网络来存储于学生的头脑之中.

布鲁纳在《教育过程》中指出：“获得的知识，如果没有完满的结构把它联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识.”这就告诉我们，知识只有构成网络化的认知结构，才会使学生准确而牢固地记忆.那么，他在问题解决时，就会在长时记忆中便于激活和提取，就会有计划和有谋略地思维和解决问题.相反，如果教师在教学中孤立地教学知识点，不考虑知识之间的联系，不引导学生进行知识网络的构建，那么学生学习的是一套死板的知识，这样的学习是盲目、低效的学习.

二、精致练习

根据认知心理学的研究，有效的问题解决通常要依赖基本技能成分的自动化，自动化的基本技能可以不占用学生有限的工作记忆空间，因而能将更多的注意力放在诸如计划、监控这样的高水平技能上.所以，数学教学要促进基本的数学技能的自动化.那么知识在头脑中构成了网络层次，怎样才能促进知识达到熟练的自动化程度？唯一的办法就是在教师指导下进行精致练习.所谓精致练习，是指具有良好的动机、接受有意义的反馈及仔细地不断地指导与监督下的数学练习.精致练习能使“产生式”达到较高的“触发”强度，促进数学技能的自动化.实施精致练习的途径主要有：

1. 样例效应

样例效应是指从具有详细解答步骤的事例中归纳出隐含的抽象知识来解决问题.样例提供了问题解决的正确范式，如规则的功能、适用条件以及在具体情境中的操作，它减轻了学生的认知负荷，提高了数学学习的效率，在教学中教师要引起足够的重视.例如，在指数函数和对数函数性质的应用中都有比较两个数大小的例题，教学中，可以让学生自己从课本例题的具体解答中总结出解题模块，即：

解题模块是学生在自己头脑里对某类数学问题解决方法的结构.解题模块不但具有操作性，还体现了数学的本质，反映了背后的数学思想方法，使学生享受数学的结构美，再经过适当的练习，它在学生的工作记忆中就会以一个自动化的图式来处理，也就是说学生获得了自动化的图式，从而促进了数学技能的自动化和解题能力的迁移.

样例效应改变了学生被动接受知识的地位，极大地调动了学生的数学学习积极性，学生通过对例题解答的详细分析，萃取抽象性知识，把握规律性认识，再应用于问题解决，实质上也促进了学生经历建构主义的生成性体验，这样的学习是有意义的.

2. 变式练习

“变式”是在保持一事物本质属性不变的前提下，通过变换它的非本质属性，来突出它的本质属性的一种思维方式.“变式”一般有概念性变式和过程性变式.概念性变式是利用概念变式和非概念变式揭示数学概念的本质属性和非本质属性，使学生获得对数学概念的多角度理解，进而建立新概念与已有概念的本质联系.过程性变式的主要教学含义是在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验.变式练习不仅可以提供多角度的理解，还可以提高练习的新鲜感和双基的灵活性.

变式练习的核心是“变”，而“变”的精髓和价值，则在于弄清“为何要变”“如何去变”“往哪里变”的过程.变式练习已为我国广大数学教师所熟悉，但在具体的数学变式练习教学中，教师不仅要使学生弄清“为何要变”“如何去变”“往哪里变”，而且要有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律.

3. 嵌入式训练

嵌入式训练是指在学生初步掌握“双基”后，把它们结合到各种问题情境中去，这有助于三种记忆信息——陈述性记忆、产生式和目标层级之间的联结.在嵌入式的训练中，教师应精心设计例习题的典型性和层次性，注意问题的开放性、应用性和综合性，并注意设计问题串，把各種同类问题串联起来，使学生形成一个比较清晰的线索，一个比较完整的结构，还要注重解题通法，及时让学生总结解题规律.通过嵌入式训练，形成数学题的解题技巧，加深对数学知识的理解，并培养学生的数学思维和数学意识.

数学技能只有经过精致练习，才会达到自动化而无须监控，这样才可能有力地促进新任务的学习，但这并不等于说，练习的次数越多越好，过多的练习是一种浪费，有时还有害，甚至还可能扼杀创造性.

三、有意识地教学策略性知识

策略性知识是学习者个人调控自己的认识活动以提高认知操作水平的特殊的高级智慧技能.认知策略水平高，知识就容易发生正迁移.因此，数学教学的核心任务就在于学生习得与学会应用数学的策略性知识.

策略性知识是隐性的，也不能自发产生，只有有意识教学才能为学生掌握.所谓“有意识”，就是对数学教学的过程进行精心设计，将凝结在数学内容中的数学家的观察、试验、归纳、概括、逻辑推理与证明等思维活动打开，并设计一定的载体（如教学情境、教师讲解、学生探究和反思、变式训练等），用以展开这些数学思维活动，从而使策略性知识得以渗透和提炼.在教学中，教师要重在引导学生主动地用眼看、用脑想、用手做，努力提供机会让学生在他们自己的水平上感悟.

例如，“对数的运算”这节课的教学设计（教学实录片段）：

师：前几节课我们学习了指数与指数幂的运算，还有对数的概念.今天你们准备研究什么内容？你打算怎么样去研究呢？（类比引入）

生：我想，与研究指数一样，先概念后运算，接着应该研究对数运算吧！

师：好，你想研究的具体内容是什么？

师：好，我们先研究logaM + logaN = ？大家想一想，等式logaM+logaN = loga（M+N）成立吗？

生：不一定.

师：为什么？

生：如果取特殊值a = 10，M = 1，N = 1就可知道.

师：噢，是用特殊化方式去思考，很好！那么logaM + logaN应该等于什么？你有什么好的研究套路吗？

生：从一般退到特殊，先从特殊入手.你不是经常要我们这样研究的吗？

师：很好！下面就请同学们自己去研究.

生独立思考，自行探究.

师：请大家说说自己的研究成果吧！

生：我的猜测是：logaM+logaN = loga（M·N）.

师：说说理由.

生：考虑常用对数.

若M = 1，N = 10，则lg1 + lg10 = 0 + 1 = lg（1 × 10）；

若M = 10，N = 100，则lg10 + lg100 = 1 + 2 = lg（10 × 100）；

若M = 100，N = 1000，则lg100 + lg1000 = 2 + 3 = lg（100 × 1000）；

……

猜想：logaM + logaN = loga（M·N）（a > 0且a ≠ 1）.

师：接着我们该怎么办？

生：证明猜想结论.

师：好，我们来分析证明的思路.

以上的教学过程，其渗透的是化归、类比、特殊化、一般化、归纳猜想证明等重要的策略性知识.因为能提高人的学习记忆和思维效率的策略是无数的，虽然某些简单的策略可以很快地学会，但大部分策略的学习是不能立竿见影的，所以认知策略的训练是长期、反复和螺旋上升的.在教学过程中，教师要注意强调策略在数学学习中的作用，要让学生明白，优良的数学成绩是正确应用策略的结果，来激励学生学习策略的主动性.

结束语：知识在头脑中储存，只有做到有条不紊地结合成知识网络，能够熟练自动形成技能并拥有掌握调节与控制自己认知过程的策略性知识，才能形成良好的认知结构，才能在解决问题过程中有效地提取和应用这些知识，使知识有效地向能力转化.

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