让学生的数学思维“串”起来

周秀兰

当提到数学习题教学，很多人马上会想到“题海战术”，无法把它和素质教学相联系，其实这是一种片面的理解. 如果我们能把对教学活动的主体的认识从教师的教转到学生的学上来，自然就会把学生课外独立的解题活动看作是数学习题教学的一个重要形式，习题教学也就从“题海战术”转化为能力培养.

在数学习题教学中，要采取各种有力措施，发挥学生的学习主动性，引导学生通过积极思考，学会独立地解答数学习题，充分发挥分析问题和解决问题的能力，这样才能改变以往的“题海战术”.

一、教给学生分析问题的方法

在批改学生作业的时候，老师会经常叹息学生不会做题，讲过的也不会解. 其实主要的原因还是缺乏分析问题和处理问题的方法. 如果学生只学习了知识而未学会相应的方法，就不能在知识和问题之间架起桥梁，如学生经常出现的不加分析就乱写而出错，就是由于这个原因. 因此数学教师要善于发掘教材中的方法因素，培养学生独立的解题能力才有了坚实的基础.

例：苏科版《数学》八年级上册155页提到，一次函数y = kx + b的图像是由正比例函数y = kx的图像沿y轴向上（b > 0）或向下（b < 0）平移|b|个单位长度得到的一条直线.

对于一次函数中的几何变换问题，我设计了下面几个问题：

（1）将直线l1向上平移2个单位后，直线的解析式变为________.

（2）将直线l1向左平移3个单位后，求平移后直线的解析式.

（3）求直线l1关于y轴对称的直线l3的解析式.

（4）将直线l1绕点A顺时针旋转90°，求旋转后的直线l4的解析式.

（5）如图2，若将直线AB沿直线AM折叠，B将落在x轴上的B′处，求直线AM的解析式.

通过这组題，让学生了解到一次函数中的几何变换问题. 几何变换包括平移、翻折、旋转. 直线的几何变换本质是点的变换，找准关键点变换以后的对应点，是解决此类问题的关键.

通过对数学问题的一题多变，提供适当的知识铺垫，向学生展示知识的发生、形成及发展的过程，能让学生体会到知识是如何从已有知识中逐渐演变或发展而来的，从而理解知识的来龙去脉，形成一个知识网络.

二、培养学生创新思维的素质

吉尔福特：“正是在发散思维中，我们看到了创造性思维最明显的标志. ”可见，发散思维是创造性思维的重要组成部分. 在全面提高学生素质的今天，发散思维的培养尤为重要.

中学生数学学习最薄弱的是数学的反思，正处于思维发展阶段的中学生不可能一次地直接把握数学活动的本质，必须经过多次的反复思考、深入研究，即坚持反思性数学学习，才可能洞察、理解数学的本质特征.

（1）图中共有多少个三角形？请把它表示出来；

（2）图中有哪几对相似三角形？请把它们表示出来，并说明理由.

解答过程（略）.

如果把上题做如下的变式：如图5，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，点E在线段BC上，∠BAC=∠EDF = 90°，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA相交于点Q.图中的△BPE∽△CEQ，理由（略）.若连接PQ，当点E为BC的中点时，△BPE∽△EPQ.

在教学中，我把这两道题放在了一起，让学生分析共同点，在我引导下，学生又归纳出在相似三角形中这样的基本图形（如图6），如图6，在△ABC中，D是BC上一点，点E，F分别在AB，AC上.若∠B = ∠C = ∠EDF = α，则△BDE∽△CFD. 当点D为BC中点时，则△BDE∽△CFD∽△DFE.

这对学生以后的解题会有很大的帮助.

试题改编、变式训练是提高数学课堂教学实效性的一个有效策略.教师要潜心研读教材，立足课本中的例题、习题，进行变式、引申、重组精心设计，让学生真正体会到数学的真谛.

三、训练学生发散思维的能力

我们在习题教学中，不能满足于一种学习方法，必须根据学生好强的心理，鼓励学生打开思路，以此来训练学生的求异思维. 这对学生学会灵活的学习方法，培养学生灵活的思维品质，发展学生的智力，提高学生的学习效率，具有极其重要的作用. 在学生的思维过程中，引导学生全面分析各种学习方法的利弊、优劣关系. 这不仅是对学习方法的认可，更重要的是开拓学生的思维空间，拓宽学生的思维视野，学生的视野广阔了，想象丰富了，理念也新颖了.

例如：如图7，已知⊙O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为P，AB = 6，CP = 1，则⊙O的半径为 .

方法一：如图8，连接AO，运用垂径定理，得出AP = BP = 3，设⊙O的半径为R，运用勾股定理，列出方程：R2 = 32 + （R - 1）2，从而求出R.

方法二：根据相交弦定理，可得AP·BP = CP·DP，可先求出DP，从而求出R.

方法三：如图9，连接AC，AD，根据CD是⊙O的直径，得出∠CAD = 90°，再根据弦AB垂直于直径CD，用相似来解决.

方法四：在图9中，根据射影定理，可得AP2 = CP·DP，可先求出DP，从而求出R.

通过一题多解，既能促使学生沟通知识点间的联系，又培养了学生的思维能力，同时也让学生通过对比、小结，得出自己的体会，充分发掘自身的潜能，从而提高自己的解题能力. 这样，不仅引导学生多方法、多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质，而且使学生感受到成功的喜悦和增强自信心，也极大地激发了学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣，从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性.

总之，在习题教学中，不在于一节课讲了几道题，而在于学生的思维得到了多少发展. 老师在教学时力求促使学生参与研究性学习活动：其一，通过自身活动所得到的知识与能力比起旁人硬塞给他的，理解要更透彻，掌握得更灵活，使用也更得心应手，还可以保持较长久的记忆；其二，发现是一种乐趣，因而通过“再创造”来进行学习，这就更能引起学生的兴趣，学生的学习具有更大的内驱力. 关注“数学本质”，就要让学生“数学地思考问题”，具体地说，就是让学生学习思考和解决问题的数学观点和思想方法，积累数学知识和活动经验，这些都是学生终身学习的宝贵财富.