浅谈立体几何中的转化思想

谢立君

摘要：立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿于立体几何教学的始终，在立体几何中占有很重要的地位。本文列举了五种转化方法，旨在让学生提高解决立体几何问题的能力。

关键词：立体几何；转化思想；例题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0156

立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿于立体几何教学的始终，在立体几何中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，具体可以从以下五方面入手：

一、位置关系的转化

线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。

例1. 已知三棱锥S-ABC中，∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F。求证EF⊥SC。

分析：∵A、E、F三点不共线，AF⊥SC，

∴要证EF⊥SC，只要证SC⊥平面AEF，

只要证SC⊥AE（如图1）。

又∵BC⊥AB，BC⊥SA，∴BC⊥平面SAB，

∴SB是SC在平面SAB上的射影。

∴只要证AE⊥SB（已知），∴EF⊥SC。

例2. 设矩形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，以EF为棱将矩形折成二面角A-EF-C1（如图2）。求证：平面AB1E∥平面C1DF。

分析一（纵向转化）：

∵AE∥DF，AE 平面C1DF，

∴ AE∥平面C1DF。同理，B1E∥平面C1DF，

又AE∩B1E=E，∴平面AB1E∥平面C1DF。

分析二（横向转化）：

∵AE∥EF，B1E⊥EF，且AE∩B1E=E，∴EF⊥平面C1DF。

同理，EF⊥平面C1DF 。平面AB1E∥平面C1DF。

二、降维转化

由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题。

例3. （2005年高考·江西卷·理15）如图3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=■，BB1=2，∠ABC=90°，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 。（■■）

分析：这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。

又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。

例4. （2005年高考·上海卷·理17）如图4直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB∥CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线BC1与DC所成角的大小。（结果用反三角函数值表示）

解：由题意AB∥CD，

∴∠C1BA是异面直线BC1与DC所成的角，

连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得AC=■，

又在Rt△ACC1中，可得AC1=3。

在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，

得∠CHB=90°，CH=2，HB=3，∴CB=■

又在Rt△CBC1中，可得BC1=■，

在△ABC中，cos∠ABC1=■=■，

∴∠ABC1=arccos■

∴异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos■。

实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等。

三、割补转化

“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。

例5. 如图5，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=n，

PA与BC的公垂线ED=h，

求证：三棱锥P-ABC的体积V=■n2h。

此题证法很多，下面用割补法证明如下：

分析一：如图5，连结AD、PD，∵BC⊥DE，BC⊥AB，

∴BC⊥平面APD，又DE⊥AP，

∴VP-ABC=VB-APD+VC-APD=■BC·S△APD=■n2h。

分析二：如图6，以三棱锥P-ABC的底面为底面，侧棱PA为侧棱，补成三棱拄 PB1C1-ABC，连结EC、EB，则易证AP⊥平面EBC，

∴V三棱柱=AP·S△EBC= 2n2h。

∴VP-ABC = V三棱柱 =■n2h。

四、等积转化

“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，（下转第120页）（上接第156页）是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的“等积转化”是以面积、体积（尤其是四面体的体积）作为媒介来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。

例6. 如图7，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积。

略解：易证四边形EBFD1是菱形，

连结A1C1、EC1、AC1、AD1，

则VA -EBFD =2VA-EFD=2VF- A ED =2VC - A ED

=2VE- A C D =VA-A C D =■V正方体AC =■a3。

五、抽象向具体转化

例7. A、B、C是球O面上三点，弧AB、AC、BC的度数分别是90°、90°、60°。求球O夹在二面角B-AO-C间部分的体积。

分析：此题的难点在于空间想象，即较抽象。教师引导学生读题：条件即∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，然后给出图形（如图8），则可想象此题意即为用刀沿60°二面角，以直径为棱将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积，（答：■）。这样，问题就变得直观具体多了。

立体几何的教学，关键是要调动学生的学习兴趣，让他们学会联想与转化。立体几何的许多定理、结论源自生活实际，源自平面几何，教师要教会学生联想实际模型，联想平面几何中已经熟悉的东西，借助可取之材来建立空间想象，加强直观教学，这样就容易让学生接受，让他们喜欢上这一门学科，从而更有效地培养他们的空间想象力，提高他们解决立体几何问题的能力。

（作者单位：黑龙江省双城市兆麟中学 150100）