巧用数学美激发学生学习兴趣的研究

裴会琴

摘 要：归纳总结了某些事物和数学之间的联系，以及数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性等，并从中体现出一种和谐而统一的数学美，通过让学生欣赏数学美以激发学习数学的兴趣。

关键词：数学美；中职；成才；学习兴趣

数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共课程。本课程的任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能和能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。从学生状况来看，来中职学校读书的学生，有的数学基础薄弱，又没有良好的学习习惯。随着教学难度的逐步增加，不懂的内容越积越多，久而久之，对数学的兴趣也越来越淡，形成了恶性循环。另一方面，有些学生产生数学无用论的思想。这种思想导致许多学生不用心学数学或根本不学数学。作为中职学校的一名数学教师，我一直在思考：爱美之心人皆有之，特别是处于青春期的中职学生，要是能对他们适时进行美育，使学生在学习数学的过程中不断获得美的享受，就会大大激发学习数学的兴趣，促进中职生早日成才。

数学有什么美呢？“到处都是美，对于我们的眼睛，不是缺乏美，而是缺少发现。”面对0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个阿拉伯数字时，也许不会产生任何美感。但若联想到，正是这几个简单数字不同的排列组合，展示小到微生物大到天体宇宙的时候，我们胸中也许会充满一种与天地并立的浩然正气，这不正是数学中简单与伟大之美吗？直线的刚劲平稳，曲线的对称柔和，波浪起伏的正弦图像，目不暇接的极坐标方程，蝴蝶定理，黄金分割等等，无不给人一种数学美。数学美即蕴藏了数学所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法的简单、和谐、严谨、奇异等形式的美。

一、数学中的黄金分割美

（1）美妙的黄金分割。古希腊学者发现了“黄金”长方形，即长方形的长和宽之比为1.618最佳（即看起来赏心悦目），这个比叫作黄金分割比。1.618的倒数的近似值即为0.618，这个数被称为黄金分割数。1.618这个比例值于1854年由德国美学家蔡辛正式定为“黄金分割律”。这个美妙的比例，实质上是将一条单位长的线段分成两段，使=，这就是众所周知的分线段比为中外比。

设大线段长为x，则小线段长为1-x，于是有=，解得x=，取其正值≈0.618。中外比（黄金分割比）的作图并不难，如图，只需取一个直角三角形，它的两条直角边分别为1与，则斜边为，再将它减去的直角边，得AD，然后在AC上取AE=AD，则点E分线段AC为中外比（黄金分割比）。

（2）将黄金数表示为连分数。由线段的黄金比=，有x2=1-x，x（1-x）=1，得x=。对等式右边分母中的x又以代替，可得x=；依次类推，可得连分数：x=。这样一个简洁的连分数给人以有序而无穷的印象，具有美感。黄金数与连分数之间竟有如此迷人的联系，怎不让人惊叹！

（3）人体也有黄金分割点。意大利数学家菲波那契曾注意到数学界不屑一顾的“冷门”——人体黄金分割。他说，一般人人体肚脐上下的长度比值为0.618或者与此相近，这是人体上下结构的最优数字。此外，他发现，人体结构还有三个黄金分割点，上肢的分割点在肘关节，肚脐以下部分的分割点在膝盖，肚脐以上的部分在咽喉。这一发现，为评价体形提供了一定依据。

二、数学中优美而巧妙的等式

（1）巧妙而正确的等式。有一些运算，在恒等变换时，看似“奇怪”而“荒谬”，但结果却是正确的。请看以下几个不同寻常的演算。

①可“约去”指数的等式。如果有学生在做数学演算时，作出以下的演算： ==、==、===，粗心的老师可能说是错的。而学生说是对的。老师不相信，自己做了几遍，发现学生做的这个等式是正确的。如果是“碰巧”，怎会几个等式都会这样呢？如果观察式子的特点，可以作出如下猜想：= ，看看是否能证明呢？= = =。事实上，只需将a、b代入不同的实数（不一定是整数）都可以得出以上类似的结果。而这个运算，好像是把等式左边分子、分母上的指数约掉了一样。

②可“约去”对数符号的等式。如果说=，=，你相信吗？事实上，等式是对的。这是因为，恒等式=是对的。证明如下：左式=×=，右式=-1=。当m=1、2时，便是上面的两个等式。它们好像是将分子、分母中的对数符号约去了一样。

③两数积等于两数和的等式。我们说×8=+8、×11=+11，这不是很神奇吗？事实上，等式×（n+1）=+（n+1）是成立的。因为左式=，右式==，所以当等于7、10时，便是以上的两个等式了。

④可把带分数的整数部分提到根号外的等式。请看等式=5，=7，=10，这不是把带分数的整数部分提到根号外了吗？等式是否成立呢？这要看下面等式是否成立：=a。因为左边===a=右边，说明等式成立。因此，只需令a=5、7、10，便可得到前面的三个等式。事实上，对上面的等式还可进一步推广（篇幅所限，略）。

（2）优美的算式与优美的答案。

请看算式：=

==111111111×111111111=12345678987654321。这个算式整齐、匀称、和谐、平衡，给人以美的感受。这个答案显然具备分式的特点，使人感到惊奇。事实上，只需在上述算式中改变一个数字，就会有类似结果：===11111111×11111111=123456787654321.你如果认真进行观察、归纳，是不难写出它们的一般形式的：=123…（n-1）n（n-1）…321.

所有这些，都体现了等式巧妙结构本身所具有的对称、和谐和奇异的内在美。恒等变换是一种平淡、枯燥的运算，只要认真钻研，你会感到趣味无穷，说不定你还会发现一些奇异的等式呢。

三、数学中出人意料的结论给人以美

在教学过程中，一些出人意料的结论也给人以美的享受。

①学生学习集合时都知道：集合是指由一些事物组成的整体，而这些事物中的每一个称为这个集合的一个元素。比如小明的家里有五个人，像这种只含有限个元素的集合，叫做有限集。自然数有无穷多个，像自然数集这种含有无穷多个元素的集合，叫做无限集。而要比较两个集合的大小，也就是看这两个集合中的元素哪个多。我们知道，全体整数有无穷多个，全体正整数也有无穷多个。那么，试问“全体整数和全体正整数都有无穷多个，它们是不是一样多呢？”或者我们又会想到，全体正整数是全体整数的一部分，难道一部分和全体一样多吗？

对有限个元素组成的集合比较大小，只需要看看两个集合间的元素是否有一一对应关系。在比较两个由无穷个元素组成的集合大小时，要看这两个无限集的元素间能否建立起某种“一一对应”关系，如果可以，这两个集合是相等的。请看下面的图示：

0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 ……

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……

从这个图示我们看出，可以在全体整数集和全体正整数集之间建立“一一对应”关系，也就知道它们之间的元素是一样多的，也就得出一个出人意料的结论：全体整数集和全体正整数集是相等的。这时，一种轻松兴奋的感觉油然而生，让人感觉数学有无穷的美让人来享受。

②学判断命题真假的时候，偶尔在课间听见两个学生在打闹时说：“我什么都可以做到。”于是，上课时我给学生出这样一个命题：“甲说他什么都可以做到。”让学生判断真假。学生有的说是真命题，有的说是假命题，争论不休，课堂气氛很活跃。我适时引导他们思考：甲能否制造出一个可以打败他的对手？学生陷入沉思。随后我引导学生进行分析。这个命题及其否定均可用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确指出错误，这种矛盾称为悖论，我们以后在大学会学到的。虽然学生似懂非懂的，但他们被神奇而美妙的数学吸引了，个个脸上露着微笑。悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学等的非常广泛的论题，在“荒诞”中蕴含着哲理，给人以启迪，给人以奇异的美感。

四、数学在名言中的比喻所蕴含的美

数学有着自己独一无二的语言体系，它的文化魅力已经渗透到各个知识领域。比如，不少名家学者喜欢用数学语言来喻事论理。①成功的秘诀：大科学家爱因斯坦以“A=X+Y+Z”的数学公式来揭示成功的秘诀。他说：“A 代表成功，X 代表艰苦的劳动，Y代表正确的方法，Z 代表少说空话。”②天才公式：大发明家爱迪生说：“天才=1%的灵感+99%的汗水。”③人生分数：大文豪托尔斯泰说：“一个人好比分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母，分母越大，则分数的值就越小。”④大圆与小圆：古希腊哲学家芝诺对学生说：“如果用小圆代表你们所掌握的知识，用大圆代表我所掌握的知识，那么，大圆的面积是多一点，也就是说，我的知识比你们多一些。但两圆之外的空白，都是我们的无知面，圆越大，其圆周接触的无知面就越多。”

数学巧妙和谐的体系，严密而无懈可击的说服力，以及它在解决实际问题时所表现出来的神奇力量，使得数学能够贯穿整个人类文化。在教学过程中，要引导学生用欣赏的眼光看待数学，巧妙运用教材中的内在美，唤起学生的审美体验，用数学美来唤起学生的求知欲望，激发他们的学习兴趣，从而促进中职生早日成才。

参考文献：

[1]易南轩.数学美拾趣[M].北京：科学出版社，2002.

[2]丘维声.数学（基础版）第一册[M].北京：高等教育出版社，2002.

（浙江省鄞州职业高级中学）