巧用数学美激发学生学习兴趣的研究

2014-04-29 21:25裴会琴
成才之路 2014年31期
关键词:数学美成才学习兴趣

裴会琴

摘 要:归纳总结了某些事物和数学之间的联系,以及数学概念的简单性、统一性,结构系统的协调性、对称性,数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性等,并从中体现出一种和谐而统一的数学美,通过让学生欣赏数学美以激发学习数学的兴趣。

关键词:数学美;中职;成才;学习兴趣

数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共课程。本课程的任务是:使学生掌握必要的数学基础知识,具备必需的相关技能和能力,为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。从学生状况来看,来中职学校读书的学生,有的数学基础薄弱,又没有良好的学习习惯。随着教学难度的逐步增加,不懂的内容越积越多,久而久之,对数学的兴趣也越来越淡,形成了恶性循环。另一方面,有些学生产生数学无用论的思想。这种思想导致许多学生不用心学数学或根本不学数学。作为中职学校的一名数学教师,我一直在思考:爱美之心人皆有之,特别是处于青春期的中职学生,要是能对他们适时进行美育,使学生在学习数学的过程中不断获得美的享受,就会大大激发学习数学的兴趣,促进中职生早日成才。

数学有什么美呢?“到处都是美,对于我们的眼睛,不是缺乏美,而是缺少发现。”面对0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个阿拉伯数字时,也许不会产生任何美感。但若联想到,正是这几个简单数字不同的排列组合,展示小到微生物大到天体宇宙的时候,我们胸中也许会充满一种与天地并立的浩然正气,这不正是数学中简单与伟大之美吗?直线的刚劲平稳,曲线的对称柔和,波浪起伏的正弦图像,目不暇接的极坐标方程,蝴蝶定理,黄金分割等等,无不给人一种数学美。数学美即蕴藏了数学所特有的抽象概念、公式符号、命题模型、结构系统、推理论证、思维方法的简单、和谐、严谨、奇异等形式的美。

一、数学中的黄金分割美

(1)美妙的黄金分割。古希腊学者发现了“黄金”长方形,即长方形的长和宽之比为1.618最佳(即看起来赏心悦目),这个比叫作黄金分割比。1.618的倒数的近似值即为0.618,这个数被称为黄金分割数。1.618这个比例值于1854年由德国美学家蔡辛正式定为“黄金分割律”。这个美妙的比例,实质上是将一条单位长的线段分成两段,使=,这就是众所周知的分线段比为中外比。

设大线段长为x,则小线段长为1-x,于是有=,解得x=,取其正值≈0.618。中外比(黄金分割比)的作图并不难,如图,只需取一个直角三角形,它的两条直角边分别为1与,则斜边为,再将它减去的直角边,得AD,然后在AC上取AE=AD,则点E分线段AC为中外比(黄金分割比)。

(2)将黄金数表示为连分数。由线段的黄金比=,有x2=1-x,x(1-x)=1,得x=。对等式右边分母中的x又以代替,可得x=;依次类推,可得连分数:x=。这样一个简洁的连分数给人以有序而无穷的印象,具有美感。黄金数与连分数之间竟有如此迷人的联系,怎不让人惊叹!

(3)人体也有黄金分割点。意大利数学家菲波那契曾注意到数学界不屑一顾的“冷门”——人体黄金分割。他说,一般人人体肚脐上下的长度比值为0.618或者与此相近,这是人体上下结构的最优数字。此外,他发现,人体结构还有三个黄金分割点,上肢的分割点在肘关节,肚脐以下部分的分割点在膝盖,肚脐以上的部分在咽喉。这一发现,为评价体形提供了一定依据。

二、数学中优美而巧妙的等式

(1)巧妙而正确的等式。有一些运算,在恒等变换时,看似“奇怪”而“荒谬”,但结果却是正确的。请看以下几个不同寻常的演算。

①可“约去”指数的等式。如果有学生在做数学演算时,作出以下的演算: ==、==、===,粗心的老师可能说是错的。而学生说是对的。老师不相信,自己做了几遍,发现学生做的这个等式是正确的。如果是“碰巧”,怎会几个等式都会这样呢?如果观察式子的特点,可以作出如下猜想:= ,看看是否能证明呢?= = =。事实上,只需将a、b代入不同的实数(不一定是整数)都可以得出以上类似的结果。而这个运算,好像是把等式左边分子、分母上的指数约掉了一样。

②可“约去”对数符号的等式。如果说=,=,你相信吗?事实上,等式是对的。这是因为,恒等式=是对的。证明如下:左式=×=,右式=-1=。当m=1、2时,便是上面的两个等式。它们好像是将分子、分母中的对数符号约去了一样。

③两数积等于两数和的等式。我们说×8=+8、×11=+11,这不是很神奇吗?事实上,等式×(n+1)=+(n+1)是成立的。因为左式=,右式==,所以当等于7、10时,便是以上的两个等式了。

④可把带分数的整数部分提到根号外的等式。请看等式=5,=7,=10,这不是把带分数的整数部分提到根号外了吗?等式是否成立呢?这要看下面等式是否成立:=a。因为左边===a=右边,说明等式成立。因此,只需令a=5、7、10,便可得到前面的三个等式。事实上,对上面的等式还可进一步推广(篇幅所限,略)。

(2)优美的算式与优美的答案。

请看算式:=

==111111111×111111111=12345678987654321。这个算式整齐、匀称、和谐、平衡,给人以美的感受。这个答案显然具备分式的特点,使人感到惊奇。事实上,只需在上述算式中改变一个数字,就会有类似结果:===11111111×11111111=123456787654321.你如果认真进行观察、归纳,是不难写出它们的一般形式的:=123…(n-1)n(n-1)…321.

所有这些,都体现了等式巧妙结构本身所具有的对称、和谐和奇异的内在美。恒等变换是一种平淡、枯燥的运算,只要认真钻研,你会感到趣味无穷,说不定你还会发现一些奇异的等式呢。

三、数学中出人意料的结论给人以美

在教学过程中,一些出人意料的结论也给人以美的享受。

①学生学习集合时都知道:集合是指由一些事物组成的整体,而这些事物中的每一个称为这个集合的一个元素。比如小明的家里有五个人,像这种只含有限个元素的集合,叫做有限集。自然数有无穷多个,像自然数集这种含有无穷多个元素的集合,叫做无限集。而要比较两个集合的大小,也就是看这两个集合中的元素哪个多。我们知道,全体整数有无穷多个,全体正整数也有无穷多个。那么,试问“全体整数和全体正整数都有无穷多个,它们是不是一样多呢?”或者我们又会想到,全体正整数是全体整数的一部分,难道一部分和全体一样多吗?

对有限个元素组成的集合比较大小,只需要看看两个集合间的元素是否有一一对应关系。在比较两个由无穷个元素组成的集合大小时,要看这两个无限集的元素间能否建立起某种“一一对应”关系,如果可以,这两个集合是相等的。请看下面的图示:

0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 ……

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……

从这个图示我们看出,可以在全体整数集和全体正整数集之间建立“一一对应”关系,也就知道它们之间的元素是一样多的,也就得出一个出人意料的结论:全体整数集和全体正整数集是相等的。这时,一种轻松兴奋的感觉油然而生,让人感觉数学有无穷的美让人来享受。

②学判断命题真假的时候,偶尔在课间听见两个学生在打闹时说:“我什么都可以做到。”于是,上课时我给学生出这样一个命题:“甲说他什么都可以做到。”让学生判断真假。学生有的说是真命题,有的说是假命题,争论不休,课堂气氛很活跃。我适时引导他们思考:甲能否制造出一个可以打败他的对手?学生陷入沉思。随后我引导学生进行分析。这个命题及其否定均可用逻辑上等效的推理加以证明,而其推导又无法明确指出错误,这种矛盾称为悖论,我们以后在大学会学到的。虽然学生似懂非懂的,但他们被神奇而美妙的数学吸引了,个个脸上露着微笑。悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学等的非常广泛的论题,在“荒诞”中蕴含着哲理,给人以启迪,给人以奇异的美感。

四、数学在名言中的比喻所蕴含的美

数学有着自己独一无二的语言体系,它的文化魅力已经渗透到各个知识领域。比如,不少名家学者喜欢用数学语言来喻事论理。①成功的秘诀:大科学家爱因斯坦以“A=X+Y+Z”的数学公式来揭示成功的秘诀。他说:“A 代表成功,X 代表艰苦的劳动,Y代表正确的方法,Z 代表少说空话。”②天才公式:大发明家爱迪生说:“天才=1%的灵感+99%的汗水。”③人生分数:大文豪托尔斯泰说:“一个人好比分数,他的实际才能好比分子,而他对自己的估价好比分母,分母越大,则分数的值就越小。”④大圆与小圆:古希腊哲学家芝诺对学生说:“如果用小圆代表你们所掌握的知识,用大圆代表我所掌握的知识,那么,大圆的面积是多一点,也就是说,我的知识比你们多一些。但两圆之外的空白,都是我们的无知面,圆越大,其圆周接触的无知面就越多。”

数学巧妙和谐的体系,严密而无懈可击的说服力,以及它在解决实际问题时所表现出来的神奇力量,使得数学能够贯穿整个人类文化。在教学过程中,要引导学生用欣赏的眼光看待数学,巧妙运用教材中的内在美,唤起学生的审美体验,用数学美来唤起学生的求知欲望,激发他们的学习兴趣,从而促进中职生早日成才。

参考文献:

[1]易南轩.数学美拾趣[M].北京:科学出版社,2002.

[2]丘维声.数学(基础版)第一册[M].北京:高等教育出版社,2002.

(浙江省鄞州职业高级中学)

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