构造对偶式证明几个不等式

倪临赟

【摘要】 本文选取数学竞赛中典型的题目，利用构造对偶式的方法，巧妙证明几个不等式，并对解法进行了评析，归纳总结出一些解题技巧.

【关键词】 对偶式；构造；不等式

在数学解题中，构造对偶式的方法通常有和与差或积与商的对应、构造轮换式、共轭根式等. 合理构造不等式，能使原来解法繁琐的题目变得解法简洁明了，大大减少了计算量. 例1 已知：a ≥ b ≥ c > 0，求证： + + + abc ≥ a + b + c + 1.

证明 a ≥ b ≥ c > 0 ？圯 + + ≥ + + .（*）

∵ + + abc ≥ 3a， + + abc ≥ 3b，

+ + abc ≥ 3c， + + ≥ 3，

∴ 将以上四式相加，得2 + + + + + + 3abc ≥ 3（a + b + c + 1）.（**）

由（*）式结合（**）式可得：

3 + + + 3abc ≥ 3（a + b + c + 1）.

∴ + + + abc ≥ a + b + c + 1.

评析 本题（*）式的放缩看似放得轻松，却恰到好处地解决了问题. 从这道题目中可以看到，当题目条件给出了变量的大小关系时，对偶式与原式就一定存在大小关系，本题正是利用这种大小关系才能通过均值不等式进行降次.

例2 已知：a ≥ b ≥ c > 0，求证： + + ≥ a2 + b2 + c2.

这道题是在《高中竞赛数学教程》中所见，书中给出的解答如下：

证明 + + - （a2 + b2 + c2）

= （b - c） + + - b2 - c2

≥ （b - c） + 2c -b2 - c2

= [b（ + ）2 - c2] ≥ 0.

∴ + + ≥ a2 + b2 + c2.

评析 这种做法看似非常简洁，但是实际上这种破坏对称性的方法并没有太多的推广价值，而且最后一行的恒等变形对于代数功底的要求很高，那一步放缩也显得无迹可寻，看完解答后总有些知其然而不知其所以然的感觉.

重新审视这道题可以发现此题的条件和例1如出一辙，欲证不等式本身也有着一定对称性，因此我们可以尝试着使用构造轮换对偶式的方法.

证明 设A = + + ，B = + + ，由柯西不等式得：A·B ≥ （a2 + b2 + c2）2.

又∵ A - B = [（a3b2 + b3c2 + c3a2） - （a3c2 + b3a2 + c3b2）] = （a - b）（b - c）（a - c）（ab + bc + ca） ≥ 0，

∴ A ≥ B.

∴ A2 ≥ AB ≥ （a2 + b2 + c2）2.

∴ A ≥ a2 +b2 + c2.

评析 可以很明显地看到构造对偶式的方法比起上面那一种破坏对称性的方法漂亮得多，也没有太多对于恒等变形的技巧要求.

看到这道题目时一种很自然的想法就是利用柯西不等式，但是首先想到的可能是 + + + + ≥ （a + b + c）2，但是这样就难以用到a ≥ b ≥ c > 0的条件了. 而使用构造轮换的对偶式的方法就能自然地用上这个条件，巧妙地证明了这道题.

对偶式与原式存在大小关系的情况除了题目条件给出变量大小关系，还有一种可能是对偶式与原式的差中含有平方式. 这一种情况相比于前者较为难以想到，有时需要大胆地尝试.

例3 证明：对任意实数x > 1，y > 1，有不等式 + ≥ 8.

证明 设A = + ，B = + ，

则A - B = + = ≥ 0，

∴ A ≥ B.

又∵ B = x - 1 + + y - 1 + + 4 ≥ 8，

∴ A ≥ 8.

评析 A式中x与y之间难以建立联系，因此很难直接处理，而巧妙地利用对偶式B进行放缩就能用简单的基本不等式解答此题.

【参考文献】

[1]熊斌，刘诗雄.高中竞赛数学教程[M].武汉：武汉大学出版社，1993：385.

[2]蔡小雄.代数变形[M].杭州：浙江大学出版社，2008：14-15.