谈谈如何选择几何解题的思维着手点

蓝裕鹏

【摘要】 如何快速解证几何题，是众多中学生心中的一道结，如何解开这道结，关键是在平时教学中培养学生寻找几何解题的思维着手点，本文结合实际例子，从题目条件结论、几何知识方法、图形处理等三大方面阐述了找几何解题的思维着手点。

【关键词】 几何 思维 着手点 选择 培养 方法、图形

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2014）02-086-02

“几何题难解”，这是众多初中学生的共同心声，从而对学习几何知识产生畏惧情绪，甚至采取放弃的态度。为什么几何题难解，关键是学生在解题时找不到或者找错了思维着手点，逻辑推理就难以展开，似盲人骑瞎马，乱碰乱闯，解题就会受阻，感觉无从下手。因此，解题时，首要的是选择合理的思维着手点，才能有效地组织好逻辑推理活动，顺利完成由条件到目标的解证、计算过程。本文结合具体实例，从几何知识方法、题目条件结论、图形等方面谈谈几何解题中思维着手点选择的常用方法，仅供参考。

一、注重从几何知识及方法方面培养学生寻找几何解题的思维着手点

1.从已知命题的结论和解法选择思维着手点

许多几何问题是从已知命题拓展出来的，如果把千变万化的题目归结到已知命题的结论和解法，思维就会像打开闸门的水流一样流畅。

例1如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的点，且FD=5AF，连接BF并延长交AC于E，求证：EC=10AE。

分析题目AD中是中线，而BE是把AD分成1：5的一条直线，若囿于此比值，便给思维带来很大束缚。如果索性把BE当作一条动线，它可以在形内，也可以在形外，当然也包括是AC边上的中线，就不难想到三角形的重心把中线分成1：2的两条线段的结论和证法，必定想到作CF′∥BF交FD的延长线于F′，利用相似三角形性质不难证得结果，可见已知命题的的结论和证法对思维着手点的选择是何等的重要。

图1 图2

2.抓等量关系选择思维着手点

几何习题中相当一部分可以转化为几何方程问题。列方程求值的思路就是从寻找等量或不变量开始的，如三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和；同底等高的两个三角形的面积相等；平行线所截线段成比例；圆的切割线定理，等等。列方程解题时，教师要善于根据这些基本关系及这些关系的变形，挖掘出扑朔迷离的题设条件和所求各数量之间的等量关系，由此找到思维起点。

例2如图2，延长圆的内接四边形ABCD的两组对边，它们分别相交于M、N，求证：所成的∠AMD和∠ANB的平分线互相垂直。

分析观察图形，HM是∠AMD的角平分线，如果能证∠MGE=∠MEG，则就证得MH⊥EN，考虑到∠MGE是△GNC的外角，∠MEG是△EAN的外角，∠ANE=∠GNC，这样就可利用①三角形的一个外角等于不相邻的两内角的和，②圆的内接四边形任一外角等于它相邻的对角，由这两项等量关系，列出三个方程，而顺利找到MH⊥EN的充分条件。

3.从观察和实验中寻找思维着手点

观察和实验是研究数学的最基本也是十分重要的方法，数学家欧拉曾说过：“数学这门科学，需要观察，也需要实验。”当我们遇到难以下手的数学问题时，不妨冷静地用观察和实验作为思维起点，或许在山穷水尽之际能迅速达到柳暗花明之境界。

例3如图3，已知D是△ABC中AC边的中点，E、F是BC边的三等分点，BD分别与AE、AF交于M、N，求BM：MN：ND之值。

分析：解这道题，即使先作出了DF辅助线，也容易被重叠的中位线和众多的相似三角形干扰，不容易简捷的得出待求值，但如果利用三角板的刻度仔细地测量，会发现BM：MN：ND=5：3：2，再作几个较大的准确图形，也会得到同样的结果，即使需要证明，也因为找到了答案，问题求解会容易得多。

二、从题目条件、结论等方面培养学生寻找几何解题的思维着手点

4.从题目的条件中寻找思维着手点

几何证明题都由条件和结论两部分组成，题设条件决定了结论的存在，完成了几何证明好比在题设条件和结论之间搭起了一座桥梁，使思维从桥的这端顺利通往另一端，思维着手点又好比是勘探由水文、地质、气象等条件决定的桥址，所以几何解题的条件中一般都蕴伏着思维的着手点。例如，凡是两圆相切的，蕴伏着要补作公切线，相交两圆要补作公共弦，相似三角形要找等比线段和相等对应角等，不胜枚举。

例4如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，又已知AD=2，AE=1，求CD的长

分析由题设条件，∠B=90°，AC与圆相切于D点，已知长度的线段AD和AE既是Rt△ABC中斜边和一条直角边的一部分，也是圆O的切割线的一部分，所以条件中就蕴含了连接OD构造两个相似直角三角形的思维着手点，一旦连接OD，解题的思路便会顺利展开。

5.分析问题目标的特征，选择思维着手点

目标是问题要求的结果，特别是几何证明题，定向证明的结果是逻辑推理的终点，也是思维的着手点，它控制着我们解题的整个过程。我们在解证逻辑推理活动中所做的每一步的价值，都是以能否达到目标为标准去评价的，解题时要善于抓住目标特征，并以此为突破口建立思维着手点，如目标是线段相等的，可构造全等三角形、等腰三角形、同圆（等圆）中等弧、等弦心距、等圆周角等；目标是线段的积相等的可变形成等比线段，再找相似三角形、角平分线，等等。

例5如图5，△ABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上，求证：EF2=BE·FC

分析题目本身已经给出了证明的目标，考察这一目标的特征不难发现：若结论成立，那么BE/EF=EF/EC，DE=EF=FG，于是就不难想到Rt△BED∽Rt△GFC，所以，只要以本题目标特征为思维着手点，问题便很快得到证明。

三、从图形方面培养学生寻找几何解题的思维着手点

6、构建几何模型寻找思维着手点。构建几何模型，就是在题设条件下，突出决定研究对象的本质因素，忽略非本质因素，对一个文字几何题建立一个理想化的图形，并以此来分析问题解决问题。模型的建立，能使问题从复杂变得简单，使抽象变得具体，模型的建立过程离不开思维，没有图示的几何题的解证思维着手点就应该建立在构建模型上。

例6已知梯形中位线长16cm，梯形的一条对角线把中位线分成线段的差是4cm，求这个梯形的上、下底的长。

分析因为问题没有图示，给思维带来一定的困难。构建一个合理的模型，就会给思维以正确导向。

1.作中位线EF，将它分成4等份，每等份代表4cm.

2.作过第二等份中点G的线段BD，使BG=GD。

3.分别过B、D作直线BA和DC，使它们都平行于EF，连接DF和BE并延长交两平行线于A、C，得到梯形ABCD（图6）。

因为构建图形的过程是一个逻辑推理过程，所以作出了图形，也就找到了解题的思维着手点。

7.从图形的特殊位置选择思维着手点

几何题中求定值的问题，总有一个点（或线、形）运动变化的过程，在其运动变化过程中总有一些特殊的位置，由于它的特殊性，但又带有普遍性，所以可以给我们认识问题提供了一种思维的途径。

例7如图7，已知为△ABC等边三角形，P为BC边上一点，过P点作BC的垂线，交另两边（或延长线）于E、F，求证：PE+PF为定值。

分析由于题目中待求的定值是与边长有关，拟还与它的高有关没有直接给出，所以本题具有一定难度。但由于P是BC边上的任一点，那么我们可以考察P为端点B及P为BC中点的两种特殊情况，如果过B点作BC的垂线，只与一边的延长线相交，则垂线的长显然是BC边上高的二倍；如从BC中点做垂线，结果依然，定值已定，解证的思路便畅通。

8.还原问题的图形，选择思维着手点

思维着手点的选择是建立在分析的基础上的，当分析几何问题的终态图形发生障碍时，不妨利用恰当的方式还原问题的初态情景——图形，这一分析过程能使我们茅塞顿开，从中找到思维着手点，我们在计算圆锥体的侧面积时，就是利用这种方法把终态立体图形还原成初态的平面扇形，使问题从复杂变得简单的。

选择思维着手点的方法除上面谈到的八种外，还有通过合理的假设、图形等效转化等方法，由于各种问题的千差万别，因此，解题思维着手点的选择就没有一个固定的模式，即使同一问题，也存在几种思维方法，学生必须结合题目、自身掌握的几何知识作出灵活选择，但无论通过哪种思维方法获得解题途径，思维着手点的选择都很重要，选择不同的思维着手点，解题过程的复杂程度和解题速度不一样，俗话说：“良好的开端是成功的一半”，只有选择好的思维着手点，解题才有可能获得快速成功。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 课本、参考资料的题目.