领悟教材编写意图 凸显数学思想方法教学

盛珍珍

摘 要：“鸡兔同笼”问题是我国古代数学名著《孙子算经》中记载的一道数学趣题，也是多个版本小学数学教材中的教学内容。“鸡兔同笼”问题蕴藏着丰富的数学思想方法，有很多解题方法。不同的年段，有不同的策略；不同的教材，有不同的编写意图。教师应根据学生不同的年龄特点，深刻领会教材编写意图，凸显数学思想方法教学。

关键词：教材编写意图；版本；情境导入

教材的内容体现了教材编写者对学生发展需要的一种理解，教师首先要弄清教材的安排意图，然后进一步钻研教材，对教材进行深层次的理解和把握。“鸡兔同笼”是一个经典问题，同时又是一节经典课。很多名师在不同的场合演绎过，但名师上课的班级大都来自名校，学生基础相对较好，他们讲课的方式并不具有一般性。不同的教材版本，有不同的教学价值和教学目标，教学的重点应该放在哪里？列表、画图、转化、假设、化繁为简、代数等多种思想方法是否需要一一渗透？如何渗透？带着这些思考，笔者翻阅了多个版本的教材，并执教了人教版六下的“鸡兔同笼”，以下从两个方面谈谈“鸡兔同笼”问题。

一、不同版本教材关于“鸡兔同笼”的编写意图比较

“鸡兔同笼”问题是一个经典问题，解法丰富，价值多元。这个问题不管是课改前还是课改后都颇受关注。不仅教师对于这个内容目标的把握和价值取舍不同，不同教材版本的内容编排、目标定位也有明显的差异。以下就从三个不同版本来阐述。

1.北师大版教材编写意图

“鸡兔同笼”问题安排在五年级上册“尝试与猜想”部分。主要是让学生通过列表、尝试、调整的过程，掌握解决问题的一种策略——列表。教学重点是理解、掌握列表找规律的方法。《教师用书》提出的教学目标：通过对一些日常生活现象的观察与思考，发现一些特殊的规律。

2.苏教版教材编写意图

“鸡兔同笼”问题安排在六年级上册“解决问題的策略”例2后的“练一练”部分，其目的是巩固画图法和假设法。

在本册“解决问题的策略”单元中，例1教学的重点是替换策略，例2是画图策略，而“鸡兔同笼”问题很好地把画图、替换等方法联系起来。所以苏教版的教学目标是：理解画图和替换在解决某些问题时的价值；初步学会多种解决问题的策略。教学重点是：理解、掌握画图和替换这两种解决问题的策略。

3.人教版教材编写意图

人教版教材先从我国古代数学名著《孙子算经》引入，教材渗透化繁为简的数学思想，把大数据变小，尝试让学生解决。教材呈现了多种解决问题的策略，有列表法、假设法、方程法，同时在“阅读资料”里还介绍了古人的金鸡独立法。教材配套《教师用书》提出的教学目标是：了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性；尝试用不同方法解决“鸡兔同笼”问题，并体会代数方法的一般性；在解决问题的过程中，发展逻辑推理能力。

总之，三个不同的教材，有不同的定位。教师要能读懂教材，领悟教材真正的编写意图，同时结合本班学生不同的基础，适当改变教材，让教材“为我所用”。只有这样才能提高课堂教学实效，才能使学生变通教材知识、服务现实生活。

二、数学思想方法教学案例解读

数学家米山国藏说：不管他们（指学生）从事什么业务工作，即使把所教给的知识（概念、定理、公式等）全忘了，唯有铭刻在他们心中的数学精神、思想和方法都随时随地地发生作用，使他们受益终生。就“鸡兔同笼”问题而言，有些老师居然直接让学生背公式来求解，这完全是违背学生的发展规律、违背人性发展的。教育的目的不是培养解题机器，是要教会学生思考问题、提出问题并解决问题。

数学知识发生、形成、发展的过程就是其思想方法产生、应用的过程，在教学中，教师应向学生提供丰富的、典型的、正确的直观背景材料，使学生在掌握知识技能的同时，能够深入数学的“灵魂深处”，真正领略到数学的精髓——数学思想方法。

笔者以人教版六下内容为例，谈谈具体如何开展数学思想方法教学。

1.情景引入 激活思维

笔者就“鸡兔同笼”问题做了课前调研（每个班级选取优、中、下三个层次各2名学生），结果假设法和方程都有学生能想出来，猜测法也有，但有些正确，有些错误，列举法没有，画图法也没有。即使老师告诉孩子们可以用画一画、列举或是算式的方法尝试，结果还是不尽如人意。能用假设法或方程方法的同学，心中自然摒弃了画图和列表法等“低级”的方法，认为前面的是更“高级”和抽象的方法。

但是，会算的同学真的理清鸡兔同笼问题了吗？他们理解用假设法解决这类问题的真谛吗？还是只会简单套用公式，当问题一旦复杂就不知道如何应对？对于学习困难的学生，他们的收获在哪？一节课40分钟，如何让他们通过画图、列表等策略来解决问题，同时更好地理解假设法，并能在脑中建立一定的数学模型。

教学片断：

（1）出示课题

师：鸡和兔见过吗？老师带来了“鸡”和“兔”（■ ■）哪只是鸡？

生：两条腿的是鸡，四条腿的是兔。

师：你能用最快的速度把鸡转化成兔吗？

生：给鸡添上两条腿。（师在黑板上板演）

师：兔子又怎样转化成鸡？ 生：给兔子去掉两条腿。（师板演）

师：同学们都利用了腿数的变化来进行转化。（板书转化）

（2）列举

■

师：如果老师把鸡和兔子关在一个笼子里，告诉你共8个头，请问鸡和兔子各有几只？

师：你能把所有可能的情况一一列举出来吗？

设计意图：

？誗简化思想：鸡（■）和兔子（■），这两种形象的表示方法简单直观，为后面的画图法埋下伏笔。

？誗转化思想：鸡和兔子之间的变化体现了转化的思想，而且都是通过腿数的变化来实现的，为后面的假设法奠定了基础。

？誗枚举思想：先给出一个条件，鸡兔共8只，求鸡兔各有几只，学生不仅学会有序记录的方法，而且为后面的列举法搭建了一个平台。

2.方法呈现 激发思维

对于鸡兔同笼问题，吴文俊院士有过这样的论述：尽管这道难题制造了许多奇招怪招，但是你跑不远，更不能腾飞。因为只要引进代数方法，你就可以轻松地把题目解出来。确实，二元一次方程是解决这个问题的最佳模型，从解题方法的角度而言，方程法远比画图、列表之类的方法要简便、快捷，但“鸡兔同笼”此课的目标只是把题目做出来么？我们要发掘的是鸡兔同笼问题的教学价值，而不是、至少不仅仅是数学价值。因此，即便最后要被方程法一统天下，教师也可以理直气壮地在不同的年级教学鸡兔同笼问题。（或类似的问题）

我想，教材的编写意图是让学生经历多种解法（画图法、列表法、方程、假设法等）的探索過程，同时掌握解决问题的一些策略。虽然列表法、画图法等最后会被取代，但是这样的思考过程却不可缺少，而这正是学生解决问题策略的形成过程。

教学片断：

（1）独立尝试

师：如果增加一个条件，（板书 腿有26条）答案唯一吗？

师；用喜欢的方法试一试。（如有困难可以借助黑板上的表格）

■

汇报各种方法

（2）列表法

师：观察数据，你有什么发现？

预设：鸡少一只，兔多一只，多2条腿，鸡和兔的转化都相差2条腿。

（3）假设法1和画图法

8×2=16（条）假设全是鸡 ■■■■■■■■

26-16=10（条）假设比实际少10条腿，这10条腿还给谁？怎么还？图上如何表示？

10÷（4-2）=5（只）这5只是什么？（兔）为什么（鸡转化成兔） ■■■■■■■■

（4）假设法2和沟通

师：刚才我们假设全是鸡，我们也可以假设全是兔？

生：（兔）请同学们试一试，做好的可以给它配上图。

展示：重点解决6÷（4-2）=3（只），这3只为什么是鸡？（是兔转化而来的）

师：都是假设法，有什么相同与不同之处？

预设：

（a）都假设成一种动物。（复杂问题简单化，假设成极端情况）

（b）假设都是鸡，转化成兔，假设都是兔，转化成鸡。

（c）都是利用腿数的变化进行调整。

（d）腿多的要去腿，兔变成了鸡；腿少的加腿，鸡变成了兔。

总结：虽然假设的动物不同，但都是利用腿数的变化来调整的。一个加腿，一个去腿。

（5）方程法

设若要指出兔x只，鸡（8-x）只，要有（ ），补充如果假设鸡有x只，兔有（8-x）只，

2x+4（8-x）=26 总鸡腿+总兔腿=26

设计意图：

？誗列表作用：让每个学生都能直观感受到每增加1只兔或减少1只鸡，需要调整2条腿，列表法要经过多次尝试与调整的过程，极限的两种情况（都是兔或都是鸡）很好地为后面的假设法做好铺垫。

？誗画图作用：关于假设法借助画图能直观理解，特别是调整的过程，通过画图，让学生感受到为什么假设全是鸡，先算出的是兔的只数。

？誗沟通作用：2种假设法的沟通，让学生进一步理解假设法，让学生感受到假设法其实就是把两个未知条件变成一个未知条件，也体现复杂问题简单处理的思想，同时不管哪种假设都存在一个调整的过程。

？誗方程作用：方程具有一般性，能解决所有此类问题。方程法重点解释设句和数量关系，设未知数的技巧简单带过即可。（因为如果设鸡为x只，会出现左边是-4x这种情况，而此情况是教材回避的方程）

3.方法沟通 发展思维

算法与算法之间很多时候并不是孤立的。不同的算法虽有不同的特点，但有时却有一根无形的“绳”把它们紧紧地联系在一起，这里这根“绳”就是“假设”。笔者看过很多资料，很少有教师在这个环节上下工夫。但笔者认为方法之间的沟通很有必要。因为这些方法表面上看似不同，但实质都是“假设法”，就犹如把珍珠串成项链的过程。这样我们的学生不仅看到树、还能看到森林！学会整体、全局地分析问题、解决问题。

教学片断：

师：同学们刚才说得很好，每种方法都有各自的特点，这些方法之间有内在联系吗？

得出列表法是不断假设、不断调整的过程，而假设法是一次假设调整成功。

假设法是列举法的优化。

师：画图法呢？

生：也是假设画图法是形象（直观）的假设法。

师：方程呢？

生：也是假设。

把具体的数量，假设成未知的x（在列表法后面板书）鸡就有（8-x）板书

得出各种方法都是“假设”法。

师：同学们，我们不仅要研究方法的多样性，也要研究方法之间的联系。

设计意图：

？誗具体假设：列表法其实一开始就是一个假设，每增加（或减少）一只兔子就是一次调整，它只不过是多次调整之后的结果。

？誗直观假设：画图法也是假设，它是一种形象直观的假设 它（■■■■■■■■）其实就是假设成全是鸡，而后面加腿其实就是一个调整的过程。

？誗抽象假设：方程也可以理解成是一种假设，它是把具体的数量假设成未知的x只，是一种抽象的假设。

此文以“鸡兔同笼”为引子谈谈教师如何在教学中吃透教材编写意图，并能渗透恰当的数学思想方法。当然数学思想方法的渗透并不是一蹴而就的，需要教师有意识、有目的地结合数学知识，逐步渗透，反复训练，层层递进，才能使数学思想方法的教学成为提高学生思维品质的重要途径。

新课标修订组组长史宁中教授提出：中国未来小学数学教育将转入更加注重内涵的改革深化阶段：其一，注重思考力的培养；其二，注重过程性经验的积累；其三，注重真正意义上的“理解”。小学是学生学习数学的启蒙时期，学生数学思维能力正处于从形象向抽象发展的重要时期，这一阶段关注数学思想方法教学将显得尤为重要。小学教师平时教学中要关注教材，分析教材，结合学生身心特点，准确领会教材编写意图，适时凸显数学思想方法教学，发展学生数学思维能力，实现教学质量的不断提升。

参考文献：

[1]张维忠，汪晓勤.文化传统与数学教育现代化[M].北京大学出版社，2006.

[2]钟建林.文本价值的多种可能及适度取舍[J].福建教育，2012（7）.

（作者单位 浙江省杭州市行知小学）

？誗编辑 杨兆东