例谈初中数学教学中建模思想的培养

岳本营

【摘要】 简介新课程标准背景下的初中数学教材中學习内容的呈现形式，结合初中数学“一元二次方程”和“二次函数”的教学谈建模思想的培养. 让学生经历探究数学模型的全过程. 让学生体验到必要的数学建模方法，加强数学模型思想的渗透，培养分析和解决实际问题的能力.

【关键词】 新课程标准；数学建模思想；建模过程；建模方法

众所周知，数学建模在中学数学教学中有着非同寻常的地位和作用. 而新课程标准背景下的初中数学教材向学生提供了大量现实的、有趣的、富有挑战性的学习内容，这些内容的呈现主要以“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的基本形式展开，即从具体的问题情境中抽象出数学问题，使用数学语言表述问题，并建立数学模型，然后用相关的数学方法解决数学问题，最后获得对实际问题的合理解答. 这样一个将数学知识应用于实际问题的过程，就是数学建模的过程. 作为初中数学教学来讲，这个过程应得到高度重视. 而模型思想在初中阶段的数学学习中多以实际问题转化为方程或二次函数来加以解决，下面就结合初中数学“一元二次方程”和“二次函数”的教学谈一下建模思想的培养.

一、让学生经历探究数学模型的全过程

新课程标准下的教材都是以“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”为基本叙述方式，因此，在教学中应尽可能地运用或改良教材中的问题.通过教师的适度启发，让学生自己去研究、探索、经历数学建模的全过程，从而使学生体会到方程、不等式、函数等都是刻画现实世界的有效数学模型，初步领会数学建模的思想和方法，提高数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力. 下面以“一元二次方程”中的一个“建草坪” 问题为例简要说明.

原题如下：某住宅小区内有一栋建筑，占地为一边长为35 m的正方形.现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900 m2的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等，问人行道的宽度为多少米.

解：如图所示，设人行道的宽度为x m，则草坪的边长为（35 - 2x）m.根据题意，可以列方程：（35 - 2x）2 = 900.解这个方程得：x1 = 2.5，x2 = 32.5.根据修建草坪面积的要求和人行道宽度的实际意义分析，x2 = 32.5不合题意，应舍去. 所以人行道的宽度应为2.5 m.

在以上分析解决这个数学问题的过程中，首先要引导学生知道谁是模型、是谁的模型、属于哪类模型. 该问题的实际数量关系“某栋建筑所占地是边长35 m的正方形，四周留出一样宽的人行道之后，中间的正方形草坪面积是900 m2”是问题的原型，而模拟该实际数量关系的一元二次方程（35 - 2x）2 = 900是该原型的模型.

其次，要让学生体会建立数学模型的基本过程. 对“建草坪”这个问题而言，建模的基本过程是：第一步进行数学抽象，挑出问题中的数量要素，淘汰无关内容；第二步找数量关系，本题是找出所得各数量要素之间的等量关系；第三步找数学模型，本题是结合正方形的面积找到合理的方程模型，用它来表述所得等量关系——这就建立了数学模型；第四步解模，解方程得结果，对照原型问题进行检验，得出最终结果. 二、让学生体验到数学建模的方法

数学建模是为了解决实际问题，但对于初中生来说，进行数学建模教学的主要目的并不是要他们去解决复杂的实际问题，而是要培养他们的数学应用意识，初步掌握数学建模的方法，为将来的学习打下坚实的基础. 因此在教学时教师可以通过教材中一些不太复杂但有意义的应用问题，带着学生一起来体会数学化的过程，从中给学生体验一些数学建模的方法. 下面通过“二次函数”中一个“利润最大值”问题加以说明.

原题为：某商店经营T 恤衫，已知成批进时单价是2.5元. 根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件. 请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？

在上述问题的实际教学过程中，数学建模的基本方法和过程如下：

1. 将实际问题抽象出数学模型

设销售单价为x（2.5 < x ≤ 13.5）元，利润为y元，则销售量为[200（13.5 - x） + 500]件，考虑到利润 = 销售总额 - 进货总额，故有

y = （x - 2.5）[200（13.5 - x） + 500]

= -200x2 + 3700x - 8000. （2.5 < x ≤ 13.5）

这样原问题即转化为二次函数的数学模型.

2. 此时问题变为求二次函数的最大值问题

将二次函数式配方后为y = -200（x - 9.25）2 + 9112.5 （2.5 < x ≤ 13.5）.

由二次函数知识得：当x = 9.25 时，y最大 = 9112.5.故当销售单价为9.25元时，最大利润为9112.5 元.

在上述问题的解决过程中，要力求让学生体会并总结出数学建模的一般方法，即：

（1）读懂题意. 面对由实际问题所呈现的材料，要读懂其中所叙述的实际问题的意义，判断该实际问题要解决什么，以及涉及哪些相关的知识领域.

（2）理解转换. 理解各种量之间的数量关系或位置关系，抓住关键，舍去非本质因素，挖掘隐含条件，将实际问题转换成相应的数学问题.

（3）函数建模. 通过数学符号化，即利用已知量的代入、未知量的设定、数量关系的沟通，建立与实际问题相对应的二次函数模型.

（4）实施解模. 用已有的数学知识和解题经验对所建立的二次函数模型求解，并根据实际问题的约束条件设计合理的运算途径，得到初步的数学结果.

（5）检验结果. 对所求出的数学结果进行解释与检验，或取或舍或修正，使其符合实际问题的要求.

总之，数学建模可以帮助学生准确、清晰地认识、理解数学的意义，并为解决现实问题提供了重要的思想方法. 在当前的初中教学中，教师应加强数学模型思想的渗透，在创设情境中感知数学建模思想，让学生在参与探究中主动建构数学模型，从而提高学生的学习兴趣，培养学生应用数学的意识和能力.