函数思想方法在中学数学教学中的应用

黄焕先

【摘要】 函数是数学的一个重要概念，函数思想是中学数学教学的重要思想，而函数思想方法则是解决数学问题的重要方法. 本文探讨利用函数思想方法在中学数学教学中的应用.

【关键词】 函数；函数思想方法；初中数学

函数概念，首先出现在初中数学课本. 初中课本对函数概念是这样描述的：“设在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么就说，x是自变量，y是x的函数.”

函数概念的出现，开始了变量教学的新起点，打破了在此之前的常量教学的旧格局，许许多多的数学问题都可以利用函数概念来解析，利用函数思想方法来处理，甚至对于一些数学难题，一旦用上了函数思想方法，即迎刃而解，达到非常好的效果. 因此，我们必须十分重视函数概念的教学，重视函数思想方法的应用.

一、函数思想方法的特性

函数思想方法，就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种关系表示出来并加以研究，从而获得问题的解决办法. 函数思想方法，作为中学数学的思想方法，它具有以下特性：

1. 函数概念的抽象性引起函数思想方法的复杂性

函数概念，体现一个变量与另一个变量的一种对应，也体现一个集合到另一个集合的一种映射，在初中数学来讲，则是一个变数与另一个变数的一种关系. 什么叫对应，什么叫映射，什么叫关系，对初中生来说，是非常陌生的，这些抽象词汇，造成了学生对函数概念理解上的困难. 因此，函数思想方法作为函数概念的外延，就显得非常复杂了. 一个连函数概念都不理解的人，怎么能掌握函数思想方法呢？函数与图像的亲密对应，引发了数形结合方法；函数的等价变换，引发了化归思想方法；还有其他的，如换元法、配方法、综合法、分析法等. 正确认识函数思想方法的复杂性，使教师更加重视函数概念的教学，更加重视函数思想方法的研究，提高教学的责任心.

2. 函数概念的生活性引起函数思想方法的广阔性

函数概念虽然很抽象，但函数的具体应用却渗透到我们生活中的各个领域. 可以说，我们的生活离不开函数，我们的每一个生产活动也离不开函数，许多关于数量的科学研究问题，只有引入函数才能表达清楚. 生活中的每一个问题，只要引入变量，就可以与函数联系起来，而函数的变化千姿百态，目不暇接，于是，就产生千姿百态的函数思想方法. 例如初中数学的路程问题、浓度问题、一次方程和二次方程的解法问题，高中数学体现在生产中的增产节支问题、生产的成本核算问题、一次不等式和二次不等式的求解问题、解三角形问题、面积问题、体积问题等，都可以引入变量，转变为函数问题. 这一转变，使人们的函数思想方法打开了更为广阔的前景，解决问题思路也就左右逢源.

3. 函数变化的奇异性引起函数思想方法的多样性

函数的变化经常出现奇妙的效果，三角形的边与角的关系通过三角式联系得天衣无缝，懂得了这些道理，不上山者能测山高，不过河者能测河宽，就显得不足为奇了. 二次函数与抛物线的联系也是如胶似漆，看见二次函数就应该想到抛物线，看见抛物线也应该想到二次函数，二次函数的变化便引起抛物线的运动，而抛物线的运动又使二次函数变得奇异无穷. 一次函数与直线的关系也是如此，一次函数的变化与直线的运动，引出许多美妙的数学问题，呈现出多姿多彩的思维效果. 本来是生活中的实际问题、如产值最大问题、原料最省问题，还有生产设计问题、最优决策问题，列出了函数，掌握了函数与函数图像的变化规律，那么，解决问题就如囊中取物.

二、函数思想方法在初中数学教学中的应用

函数概念是初中数学概念的灵魂，函数思想方法是数学方法的主线，它能把数学概念、数学命题、数学原则、数学方法贯穿起来，使得数学内容达到更高层次的和谐与统一. 因此，函数概念和函数思想方法在初中数学教学中起到了统帅的作用. 数学教师若能抓住函数思想方法这条主线，再把其他思想方法连贯起来，应用于教学的各个环节，可以肯定地说，教學效果是很好的. 我们在这方面作了一些有价值的探索.

1. 函数思想方法应用于数学教学的全过程

函数的概念是动态的概念，函数思想方法是一种动态的思想方法，这正符合动态式的数学教学的要求. 引进函数概念之后，实现了数与点的结合、函数与图形的结合，还实现了数与形的灵活转换、符号语言与图形语言的灵活转换. 我们要帮助学生从局部的、静止的、割裂的认知结构中解放出来，学会运用动态的、变化的、联系的观点来理解数学知识，这乃是提高数学质量的重要途径. 正是考虑到动态教学的新理念，于是，应该把体现动态思想方法的函数思想方法应用于教学的全过程，在课堂教学、课外作业、科研辅导等教学环节，只要能用函数思想方法来处理的，都应运用. 这需要毅力，需要创造，需要教师从现有教材中挖掘与函数概念有关系的数学知识点，然后考虑运用函数思想方法解决它.

例1 若关于实数x的不等式（k2 - 2k - 3）x2 - （k - 3）x - 1 < 0恒成立，求k的取值范围.

这不是一个简单的一元二次不等式，而是已知这个不等式恒成立，反过来求k的取值范围. 这与函数概念有关吗？诚然，不等式的左边可以看做关于变量x的函数，记为y = （k2 - 2k - 3）x2 - （k - 3）x - 1，它的图像是抛物线，按题意，不等式恒成立，也就是说，函数值y恒小于零，则函数的图像，即抛物线总在x轴的下方，并且与x轴没有交点. 根据抛物线的这个特点，可以确定，抛物线开口向下，二次项系数a = k2 - 2k- 3 < 0，又可以确定，抛物线全部落在下半平面，与x轴没有交点，则二次方程没有实数根，Δ = （k - 3）2 + 4（k2 - 2k - 3） < 0. 这是一次成功的转化，把题意转化为解下列不等式组：

a = k2 - 2k - 3 < 0，Δ=（k - 3）2 + 4（k2 - 2k - 3） < 0

（k + 1）（k - 3） < 0 ①（5k + 1）（k - 3） < 0 ② - < k < 3.

故k的取值范围是- < k < 3.

这个数学问题的解决，确实是运用了函数思想，把不等式问题转化为函数问题，再把函数问题转化为图形问题，最后又把图形的特征转化为另一个不等式组的计算，这样的一条龙似的解题过程相当流畅，不仅充分体现了函数思想与方程思想、数形结合思想、转化思想的高度统一，同时也是函数思想方法解决问题的一个典型范例.

例2 已知（1 - 2x）7 = a0 + a1x + … + a7x7，求代数式a1 + a2 + … + a7的值.

这个问题初中生能解决吗？初看起来，有点像二项展开式，是高中的问题. 按高中知识来做，那就得把左边按二项式定理展开，对比两边系数，分别求出a1，a2，…，a7的值，最后把它们加起来，就得代数式a1 + a2 + … + a7的值，难度不小啊！

认真观察一下，这也是一个函数问题. 把已知问题看做函数，记为y = （1 - 2x）7 = a0 + a1x + … + a7x7.

当x = 0时，y = （1 - 2 × 0）7 = a0 = 1；

当x = 1时，y = （1 - 2 × 1）7 = a0 + a1 + … + a7 = -1，

所以a1 + a2 + … + a7 = （a0 + a1 + … + a7） - a0 = -1 - 1 = -2.

一個看起来似乎是高中的数学问题，用了函数思想方法，却变成了初中生也能接受的数学问题. 函数思想方法的功能不小啊！

2. 函数思想方法要与其他数学知识紧密结合

函数思想方法确实是解决数学问题的有力武器，但绝不是万能武器. 不是说所有数学问题都能用函数思想方法解决，而是说，凡能转化为函数问题的，就应该尽量转化. 这也体现函数概念与其他数学知识的紧密结合.

3. 函数思想方法应用于解决实际数学问题

我们的生活空间是一个巨大的数学空间，生活中的每一个实际问题大都能转化为数学问题，其中相当大的部分可以用函数思想方法来处理. 为了强化函数思想方法的应用，更为了培养学生运用函数思想方法解决实际问题的能力，让学生学会解决身边发生的经济问题，学会解决经济发展过程中的一些社会问题. 为此，我们应该努力创设良好的学习环境，使学生在学习中得到锻炼.

例3 数学竞赛队的3位教师和若干名参赛学生准备乘飞机到北京参加全国性比赛，按当地飞机票价，乘飞机往返每人需交3000元. 但民航服务站对师生乘坐飞机有优惠的临时规定：第一种优惠方案是教师买全票，学生买半票；第二种优惠方案为师生一律按六折优惠购票. 你认为，应采取哪一种优惠方案？

这是发生在学生身边的与经济有关的生活问题，采取哪种方案，当然应以节约为原则，哪种方案为竞赛队节约开支，就采取哪种方案. 考虑把旅费与学生人数建立函数关系，若设学生人数为x，两种优惠方案的旅费分别为y1和y2，则

y1 = 3000 × 3 + 1500x = 9000 + 1500x，

y2=3000 × 0.6 × （x + 3） = 1800 × （x + 3）.

y1 < y2 ？圳 9000 + 1500x < 1800x + 5400 ？圳 x > 12；

y1 > y2 ？圳 9000 + 1500x > 1800x + 5400 ？圳 x < 12；

y1 = y2 ？圳 9000 + 1500x = 1800x + 5400 ？圳 x = 12.

当学生人数多于12人时，采取第一种优惠方案；当学生人数少于12人时，采取第二种优惠方案；当学生人数等于12人时，采取哪种优惠方案都可以.

函数思想方法在解决数学问题中的确起到非常重要的作用，我们应加强这一方法的教学探讨和学习训练，把数学教学推向新水平.

【参考文献】

[1]顾继玲，章飞.初中数学新课程教学法[M]：第一版.北京：开明出版社，2003.

[2]曾国光.中学生函数概念认识发展研究[J].数学教育学报，2002，11（2）：99.