数频科学之椭圆周长的数频公式

吴合法

【摘要】椭圆周长的数频公式是数频科学的又一重要发现，它结束了经典数学没有椭圆周长等式及证明的历史，只有近似的积分式或无限项表达式，并不完全被证明是科学. 这一公式在某一意义上见证了当今时代国际数学发展的科学进程.

【关键词】 数频直线定律；数频原理；椭圆周长的数频公式

1. 数频直线定律

数频直线定律就是含有平行与相交的交互分布的直线，可任意弯曲，该线上任意一点与弯曲后的任一点没有大小区别. 例如，长方形的投影为一直线时，它的平行线与对角线都包含在这一直线上，像这样的直线就称为数频直线. 该线上任意一微小直线段与微小曲线段是一致的，同一个概念，同一条线，没有大小的不同. 数频直线定律首先在理论上解决了微积分的固有矛盾——无穷小到底是否为零的无结果争议. 例如，在用割圆术求圆的面积时，圆内接正多边形6 × 2n - 1在n趋向∞时的边长趋于零，因此这样的边长和又怎样等于圆周长呢？如果边长不为零，那么正多边形的面积就只能近似圆的面积，从而构成的矛盾混淆了科学的真面目. 当初开普勒著作《葡萄酒桶的立体几何》里也有类似的情形，他把其中的微小扇形的面积无端地看做微小三角形的面积，由此引发矛盾：如果两者相等就会重合为一半径，其面积均为零；如果不为零，那么无穷的微小三角形的面积和只能近似接近圓的面积. 今天根据数频直线定律，其微小直线段就是微小弧线段，是同一个概念，此问题可迎刃而解. 不仅如此，它还将用于下面的椭圆周长的数频公式的证明.

2. 椭圆面积几何推导

斜切圆柱所得截面即为椭圆. 圆的面积与其椭圆面积之比为cos θ，cos θ = ﹙πR2﹚/S椭圆 = 2R/2a = R/a.

其中R为圆柱的底面圆的半径，且R = b， b为椭圆的半短轴，a为椭圆的半长轴，cos θ = R/a表示a在圆上的投影为R，因此 S椭圆面积 = πR2 × a/R = πab.

这种方法简洁直观，表明椭圆以及椭圆的任意微小面积与其在圆上的投影具有一致的等比关系cos θ = R/a.

3. 椭圆周长的数频公式

椭圆周长的数频公式来自如下的数频原理：

一分为二地斜切圆柱所得截面即为椭圆，其椭圆周长与底面圆周长之比等于该椭圆周长上平行于弦为的微小弦与其在底面圆的投影即圆周上平行于弦为的微小弦之比. 记为：

L椭圆周长/L1圆周长 = /，

L椭圆周长 = L1圆周长 ×/=π.

证明 由数频直线定律知，微小直线段就是微小弧线段，椭圆周长上任意一微小弧都是微小弦，这些平行于弦为的微小弦与其在底面圆上的投影所得的平行于弦为的微小弦之比等于/，然后将它们一一加起来就得到椭圆周长的数频公式. 完毕.

结束语

数学必须改革，这已是世界潮流. 数频科学的产生从根本上掀起了数学最终科学化的序幕，数频科学之系列科学成果将成为数学发展的主流.

【参考文献】

[1]同济大学数学系主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.