浅谈利用一次函数解决实际问题

王武霞

一次函数的应用是初中数学中的一项重要内容，在利用数学建模解决生活中的实际问题这类题型中非常具有典型性和实用性，体现了新课改理念下，教会学生学会数学和会学数学，提高学生解决实际问题的能力，现以几例加以说明.

例1 我校假期将带领该校“三好生”去某地旅游，甲旅行社说：“如果带队老师买全票一张，则其余学生可享受半价优待.”乙旅行社说：“包括带队老师在内，全部按全票价的6折（即按全票价的60%收费）优惠.”若全票价为200元.

（1）设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；

（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？

（3）就学生数x讨论哪家旅行社更优惠.

解 （1）y甲 = 100x + 200，

y乙 = 200·60%·（x + 1） = 120x + 120

（2）根据题意，得100x + 200 = 120x + 120，解得x = 4，

所以当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多.

（3）当y甲 > y乙，100x + 200 > 120x + 120，解得x < 4；

当y甲 < y乙，100x + 200 < 120x + 120，解得x > 4.

因此当学生人数少于4人时，选乙旅行社较优惠；当学生人数多于4人时，选甲旅行社较优惠.

本题在明确了甲旅行社和乙旅行社的收费标准后，通过数学建模，综合运用一次函数、方程、不等式等知识解决了现实生活中的优惠方案.

例2 在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数s（次/分）是这个人年龄n（岁）的一次函数. 一名学生听到了两位医生的对话，医生甲：“15岁的人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是每分钟164次.”医生乙：“45岁的人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是每分钟144次. ”

（1）根据以上信息，求在正常情况下，s关于n的函数关系式；

（2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中为他测得10秒的心跳为26次，请问：他是否有生命危险？为什么？

分析 （1）由于告诉s与n是一次函数关系，所以可设s与n之间的函数关系式为s = kn + b，由两个医生的对话可知，当n = 15时，s = 164；当n = 45时，s = 144.由此可以求出s与n的函数关系式. （2）将n = 63代入后求出s，比较s与医生测得的心跳次数的大小.

解 （1）设s与n之间的函数关系式为s = kn + b.

由题意，得15k + b = 164，45k + b = 144. 解含有k，b的二元一次方程组，得k = -，b = 174. 故s与n之间的函数关系式为s = -n + 174.

（2） 当一位63岁的老人在跑步时，医生测得他每分钟的心跳次数是26 × 6 = 156，而他在运动时每分钟所能承受的心跳的最高次数是s = - × 63 + 174 = 132，156 > 132，因此，他有一定的生命危險.

例3 蜡烛点燃掉的长度和点燃的时间成正比. 一枝蜡烛如点6分钟，剩下蜡烛的长度为12厘米；如点16分钟，剩下蜡烛的长度为7厘米；假设蜡烛点燃x分钟，剩下的蜡烛长为y厘米，求出y与x之间的函数关系式，并求这支蜡烛燃完需多少时间.

解 蜡烛点燃掉的长度和点燃的时间成正比，可设a = kx（k > 0，a为点燃掉的长度），若蜡烛长为b厘米，则y = b - a，即y = - kx + b，所以y与x之间是一次函数关系. 由题中已知条件可知，x = 6时，y = 12；x = 16时，y = 7，可得：12 = b - 6k，7 = b - 16k，解含有k，b的二元一次方程组，得k = ，b = 15. 故y与x之间的函数关系式为y = 15 - x. 由x = 0 时，y = 15，且y = 0时，x = 30，可知蜡烛燃完的时间是30分钟.

总之，教师应在教学中培养学生分析问题的能力，让学生从解决问题的过程中去掌握解决问题的方法，把实际问题转化为一次函数模型，利用一次函数的概念及性质解决实际问题.