巧用正弦定理证题

郑准

【摘要】 在解決一般的几何证明题时，我们常需要添加辅助线通过证明全等或相似才能得出结论，但对有些已知角的关系的几何问题，若能正确地运用正弦定理则很容易就可以解决了.

【关键词】 正弦定理；特殊角

1. 在一些已知角度的几何证明题中，我们可以根据题目已知的特殊角或角与角之间的关系，利用正弦定理直接解答. 例1 如图1，在△ABC中，∠ABC = 60°，∠ACB = 45°，D在AC上，且∠ADB = 60°，求证：AD = 2CD.

证明 在△BCD中，∠ADB = 60°，∠DCB = 45°，∴ ∠CBD = 15°.

由正弦定理，得 = ，∴ CD = BD.

∵ ∠ADB = 60°，∴ ∠ABD = 45°.

∵ ∠ABC = 60°，∠ACB = 45°，∴ ∠A = 75°.

在△ABD中，由正弦定理得：

∴ AD = （ - 1）BD，

∴ AD = 2CD.

2. 在一般的几何证明题中，若能正确地运用正弦定理解题，往往可以简化解题过程，而不需证明全等或相似就可得出结论，这类题目很多，下面我们就通过例题来看看如何运用正弦定理解几何证明题.

例2 如图2，△ABC中，E，F分别为AB，AC上的点，且∠FBC = ∠ECB = ■∠A，求证：BE = CF.

证明 ∵ ∠FBC = ∠ECB = ∠A，

在△ABF中，∠BFC = ∠A + ∠FBA = ∠A + ∠ABC - ∠FBC = ∠ABC + ■∠A，

同理可得：∠BEC = ∠ACB + ∠A，

∴ ∠BEC + ∠BFC = 180°.

在△BFC中，由正弦定理，得

同理可得：

∴ BE = CF.

3. 在一些几何证明题中，我们常常需要构造特殊三角形，利用特殊三角形的性质才能解答问题，若用正弦定理来解，则不需构造特殊三角形了.

例3 如图3，AB，CD为⊙O的两条直径，P为⊙O上任一点，过P作AB，CD的垂线，垂足分别为M，N，过A作CD的垂线，垂足为H，连接MN，求证：MN = AH.

证明 设⊙O的半径为R.

∵ AH⊥CD，∴ AH = R·sin∠AOC.

∵ PM⊥AB，PN⊥CD，

∴ P，M，O，N四点共圆，且圆的半径为R.

在△OMN中，由正弦定理，得 = R，

∴ MN = R·sin∠MON.

又 ∵ ∠MON + ∠AOC = 180°，

∴ MN = AH.

4. 在几何证明题中正确地运用正弦定理，可以不需添加辅助线或少添辅助线，从而大大降低题目的难度，蝴蝶定理的证明就是其中一个典型的例子.

例4 过⊙O的弦AB的中点P任作⊙O的两弦CD，EF，连接CF，DE分别交AB于M，N，求证：PM = PN.

证明 设∠EPN = ∠FPM = α，∠DPN = ∠CPM = β，PN = x，PM = y，AP = a，则在△PEN中，由正弦定理，得

同理可得：

又∠E = ∠C，∠D = ∠F，

∴ EN·DN·PM2 = CM·FM·PN2.

又 EN·DN = BN·AN = （a - x）（a + x） = a2 - x2，

CM·FM = AM·BM = （a - y）（a + y） = a2 - y2，

∴ （a2 - x2）·y2 = （a2 - y2）·x2.

∴ x2 = y2.

∴ x = y（x，y > 0），即PM = PN.