数列求和通用方法及其推广应用

李广浩

【摘要】通过观察数列通项公式及其和的表达式，发现了一些规律，但缺乏普遍性的证明，现给出一些局部证明，写出来分享给大家，以供数学专家、学者们作更深入的研究，为数学作点贡献。我们知道数列是一种特殊的函数，其定义域为全体自然数，数列和的表达式也具有一般函数在某个区间的和为这个一般函数的积分的性质，故现对某些数列经行研究，并给出数列求和通用方法，再作应用示范和适当推广。

【关键词】数列通项公式积分

【Abstract】Observing the general formula and its sequence and expression, found some regularity, but the lack of proof of universality, now give some partial proof, write out to others for math experts, scholars have made more in?鄄depth study of mathematics as a point contributions. We know that the series is a special function, the domain of all natural numbers, the number of columns and expressions also has a general function in a certain range, and for the general function of the integral nature, it is now certain number of columns by rows and gives the series summation general method, and then make the appropriate application demonstration and promotion.

【Keywords】SeriesGeneral formula Integration

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）07-0145-01 已知数列求和通用表达式为：■f(i)=Sn：现观察下列数列和及其通项表达式：f(i)=a1+（i-1)d时,Sn=■[2a1+(n-1)d]；f(i)=a1ri-1时Sn=■；当f(i)=i1时，Sn=■n2+■n；f(i)=i2时，Sn=■n3+■n2+■n；f(i)=i3时，Sn=■n4+■n3+■n2；不难发现如下规律：数列和表达式总比该数列通项公式高一阶。为方便阐述：当n→+∞时：数列和为常数定义为收敛数列；数列和为关于n的变量时定义为发散数列。收敛数列其求和方法相对容易，本文略。对于发散数列通过观察可猜想：当f(i)有通项公式且为关于i的某类连续单调增函数时，则数列和的表达式总可写成一个比通项公式高一阶的关于n同类函数。（此定律命名为和积定理）。对于等比等差数列已显然成立了，现对通项公式形如f(i)=■■a■■i■的多项式给与证明，先证明f(i)=ik的情况，由归纳法证明如下：当k=1时显然是成立的。现令k=m时成立，及f(i)=im时（m>1)其和可写作■im=f ■n即：■im=1m+2m+…+nm=■aini=f ■n；为方便阐述现补充f ■n含义：f ■n表示一个关于n的k次多项式，其中多项式系数组成的矩阵为A。则：■=1*1m+2*2m+…+n*nm=n*f ■n-[(n-2)2m+(n-3)3m…2*(n-2)m+1*(n-1)m]由二项式定理分解求和上式必有■im+1=f ■n，即■im+1=f ■n故k=m+1时亦成立。由归纳法知和积定理在通项公式f(i)=ik时成立。当通项公式为一个多项式f(i)=■■a■■i■，对此多项式叠加可得到：■■a■■i■=f ■(n)；由此我们得到求多项式为f(i)=■■a■■i■的发散数列和表达式一般方法：令数列和Sn=f ■(n)，分别取n为1，2……k+1，得到一个k+1个未知多项式系数ai组成的线性方程组：ai组成未知系数矩阵A可通过求解多元一次方程组得到，也可由ai系数组成的逆矩阵与方程值Sn组成的矩阵相乘得到。

应用和推广

1.应用：

现求当数列通项公式f(i)=i4时和的公式：令Sn= ■i4=■ajnj；令i=1，2，3，4，5得到一个五元一次方程组，并解之得：a1=-■；a2=0;a3=■;a4＝■;a5=■即：■i4=■ n5+■n4+■n3-■n；采用归纳法可证明其正确（证明略）。（另观察通项公式f(i)=iK情形不难发现如下规律：多项式的奇数项的系数之和与偶数项的系数之和均等于1/2；且最高次项的系数为(k+1)-1，有兴趣的同仁不妨证明之）

2.推广：

对于通项公式为任意函数

情形是否一样适用？有待专家

学者们继续研究。如数列表达

式为减函数或周期函数；且其对

应的数列不为收敛数列时，是否

可由和积定理推导出其和的表

达式？下面给出对于通项公式

为一个关于n的任意单调连续

增且高价于的f(x）=x的函数的

证明：

为便于证明先假设一任意

进过原点的单调增函数f(x)在

x≥0区间可积，且积函数可写

成■f(x)=F(x)，图（一）中方格区

面积为f(n)：斜线区为f(x)在n-δn-1~n-δn区间的积分，并使之面积为f(n)，即f(n)=■f(x)；对于单调增函数，拿f(x）=x函数图形作参照，采用几何作图法可证明■＞δ1＞δ2＞…δn-1＞δn，即可得到如下结论：■f(i)=■f(x)=F(n+δn)-F(0)当n为一常数时，即δn≠0，令N=n+δn，A=F(0)时其和函数F(n+δn)-F(0)=F(N)-A；其和由二项式定理分解求和得到函数表达式符合和积定理；若n→+∞时可认为趋向于0，即可得到结论■f(i)=F(n)，和积定理成立。对于不经过原点情况，其和函数只需增加一项nf(0)，故和积定理对于通项公式为一个关于n的任意单调连续增且高价于的f(x)=x的函数，且在f(0)为常数时是成立的。