反函数教学过程中的一些思考

杭红霞

【摘要】反函数是数学教学中的一个重要的基本概念，本文就教学过程中反函数的定义和反函数的图像及交点的情况做了相关观点的阐述.

【关键词】反函数；定义；图像；交点；思考

反函数是数学教学中的一个重要的基本概念，它是学习对数函数及反三角函数的基础.在高职数学中，其相关教学内容虽不多，但既是重点又是难点.下面就在教学过程中反函数的定义和图像及交点三方面谈谈相关注意点.

一、关于反函数的定义

1.高职教材中关于反函数的定义要比其他数学论著上的定义通俗、简明，但学生还是难于接受.比如，讲到函数y=f（x）（1），x=f-1（y）…（2），y=f-1（x）…（3）三者间关系时，部分学生错误地认为只有（3）式才是函数（1）的反函数.又如，在讲到函数y=x2，在定义域R内没有反函数，如果将函数的定义域限制为x≥0，那么它就有反函数y=x.有的学生就迷惑了，怎么一会儿说没有，一会儿又说有了呢？这两个困惑的认识，都处于学生没有弄清确定函数的两个要素的基本概念.前者，把（2）（3）看成是两个不同的函数了，学生没有认识到（2）（3）尽管所使用的表达字母不同，但由于确定函数的两个要素——定义域和对应关系没有改变，因此，它们依然是同一个函数.也就是说，（2）（3）都是函数（1）的反函数.后者，学生没有注意到，其实这已经是两个不同的函数了.前一个函数的定义域是实数R，后一个函数的定义域是非负值对应，所以，函数y=x2在指定定义域x≥0内就有反函数y=x.因此，在引入反函数定义前，教师应指导学生复习确定函数的两个要素及反函数对应的概念.

2.反函数定义中已指出：（1）什么样的函数才有反函数；（2）求反函数的步骤；（3）互为反函数的函数定义域和值域间的关系.但如何判定所给函数是否有反函数，学生是比较困难的.对给出的函数，首先要判断它的对应关系是不是一一对应，如果是一一对应，那么就有逆对应，这个逆对应所确定的函数，就是原来函数的反函数，但一一对应、逆对应等概念比较抽象，应多举例题或借助于图形来讲清概念.

3.由已知函数求其反函数，教师在讲解例题时，应强调书写步骤.应使学生牢牢记住，只有反对应是单值的函数才有反函数，这样学生就易于接受求反函数的一般方法了.

二、互为反函数图像间的关系

三、互为反函数的两个函数图像的交点情况

我们通常是要借助于《几何画板》这一画图工具来画出精确的图像.通过研究参数的范围，可以得到指数函数与对数函数交点的几种情况，并通过《几何画板》作出精确的图像加以验证.