数学解题错误分类例析

刘渊枢

【摘要】数学解题错误是学生在数学学习过程中的普遍性行为。本文旨在通过对错误进行合理分类，从心理上、知识上、逻辑上和策略上等进行系列分析，精确归因，从而有的放矢，既为教师提供可靠的教学反馈，以便适时调整教学方案；又可提升学生自我纠错能力，并获得有益的心理发展。

【关键词】解题错误 认知结构 策略性错误 等价转换 正难则反

【中图分类号】G633.6 【文獻标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）03-0130-02

对于数学习题来说，虽然一些探索性或开放性的问题解决不能依靠固定的模式，但解题策略的确定，依然是问题解决顺利进行的先决条件。一个数学问题的解决，可采用的策略一定是多种多样的，但一个好的策略不仅可以使解题的过程简洁明快，而且决定着问题的最终解决。而不合理的策略可以产生错误导向，从而使问题不能得解；或者，策略的选择增加了求解过程的难度或长度，在思维与时间上造成浪费。比如，数学家西蒙曾研究过解决“河内塔问题”的四种不同策略：目标递归、知觉策略、模式和机械记忆策略，并做过非常精彩的比较。笔者结合教学实际，通过实例对策略性错误进行详细分析。

一、缺乏整体概念

例1.（1）已知a，b均为正数，且有a+2b=1，求■+■ 的最小值。

（2）已知x>0，y>0，且x+y+■+■=10，求x+y的最大值。

事实上，问（1）是问（2）的铺垫，学生对问（1）的充分理解有益于确立问（2）的解题模式，这实质上思维的迁移。但教学中绝大多数学生对问（2）一筹莫展，或者通过变元转化为函数问题而陷入繁琐冗长的计算之中。正确的策略是：（1）■+■=（■+■）（a+2b）=■+■+3≥2■+3=2■+3，当且仅当a2=2b2时，取最小值。（2）令x+y=t>0，则x+y+■+■=10可化为t+■（■+■）（x+y）=10，即10=t+■（■+■+10）≥t+■？圯t2-10t+16≤0？圯2≤t≤8，故x+y的最大值是8。选对策略，问题简洁明快，而不能快速求解的原因则是由于缺乏整体概念造成策略性失误或错解。

二、模式识别有误

数学家与心理学家早在20世纪50年代起，以信息加工观点对学生解决问题的过程进行了系列研究，认为学生所面临的大多数问题是通过模式识别来解决的。所以，从根本上看，良好的问题储备对模式辨认有着非常重要的意义。“辨认的正确与否决定着所提取的方法合适与否，从而也就决定着解题结果的正确与否。”

例2.人教版必修二P110B组第8题：已知0

■+■+■+■≥2■

学生把它当成难题，是因为把此例看成是一个不等式证明问题，觉得自己难以应对，若是仔细观察每个根式的特点，则不难找到“距离”的影子，注意到已知中的条件，这是一个典型的数形结合的解析几何问题。背景变了，问题的性质就变了。

如图，0

再比如，学生对于恒成立问题与有解问题经常分不清，表面上看似知识性错误，但错误的背后实质有模式识别的成份——这是从记忆存贮中提取的过程。

例3. （1）若x-1+x+2 >a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是________。

（2）若不等式x+1-x-2 >a在x∈R上有解，则a的取值范围是________。

这两个不等式的左侧部分可以看成关于x的分段函数，利用数形结合找到最值；或者利用三角不等式a-b≤a+b≤a+b求最值。（1）的正确答案应该是a<（x-1+x+2min=3；（2）的正确答案是a<（x+1-x-2max=3。

例4. 不等式（x-1）（■+1）+（2x-3）（■+1）>0的解集是________。

此问题依然会被学生当成一般不等式求解问题，或者从形式上被吓倒而无法做到本质抽象，这是典型的模式识别有误。分别对两个根式进行变形：（x-1）（■+1），（2x-3）（■+1），两式结构完全相同，故构造函数f（x）=x（■+1），不难证明f（x）为奇函数且为增函数，原不等式化为f（x-1）+f（2x-3）>0？圯f（x-1）>f（3-2x）？圯x-1>2x-3？圯x<2。

该问题的考点组合与模式构造，可谓精彩。

三、不能成功转化

这类策略性错误并非学生不懂相关的知识点，而是由于思维广阔性与深刻性的局限，不能把这些单点知识或问题有机联系起来，从而不能把问题成功转化为新的形式，以期达到简单化、熟悉化的目的。

例5.教材中介绍对数运算时对公式loga （MN）=loga M+loga N给出了证明，并说明同理可证loga■=loga M-loga N。

学生在应用及记忆公式的过程中，会把这两个公式当成完全独立的两条，第二条可否转化为第一条公式呢？事实上，这两条公式的本质是一样的，loga■=loga■+loga N-loga N=loga■·N-loga N=loga M-loga N。

化归的思想是化难为易、化复杂为简单的重要思想方法，对知识间内在联系的理解会更加深刻，这当然大大提高了学生解题过程中的模式识别能力，在面对问题时快速辨认、提取与转化。

例6.已知关于x的不等式x-2+3-x

此问题若单纯辨认为求解不等式的问题，则不会是好的策略选择，如若看成两个函数的比较问题，则可以选择数形结合来解，这是更为经济的策略选择。

策略1.原不等式左边看成分段函数f（x）=5-2x（x<2）1 （x≥2），则不等有解转化为m>fmin（x）=1。

策略2.原不等式可化为x-21

四、“正难则反”思维偏弱

数学问题的解决，大多从条件出发，借助于具体的模式与方法，进行正面、顺向的思考，在思维的方向具有定向性、层次性和整合性。但事物往往是互为因果的，具有双向性和可逆性，所以“正难则反”则是正向思维受阻时的逆向思维，反向的思考便为一种非常合理的解题策略，如补集思想或反证法等。

例7.若三条抛物线y=x2+4ax-4a+3，y=x2+（a-1）x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一条与x轴有交点，求a的取值范围。

很多学生并不理解“至少”的概念，所以题意的理解模糊，在正面分类较多难以入手的情况下，并未从“正难则反”的策略上入手，从而导致出错。

正解1.若这三条抛物线都与x轴无交点，则△1=16a2-4（-4a+3）<0△2=（a-1）2-4a2<0△3=4a2+8a<0？圯-■

正解2. △1=16a2-4（-4a+3）≥0，或△2=（a-1）2-4a2≥0，或△3=4a2+8a≥0，则三个解集的并集为a∈-∞，-■∪[-1，+∞）。

例8.已知y=f（x）是定义在R上的增函数，试判断并证明a+b>0是f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）的什么条件。

错解：由a+b>0？圯a>-b？圯f（-a）>f（-b），a+b>0？圯b>-a？圯f（b）>f（-a），两式相加可得f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b），反之不成立，故a+b>0是f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）的充分非必要条件。

正解：充分性和上同，关键是要合理说明f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）是a+b>0的什么条件，由已知条件可知正向入手困难，故“正难则反”，从逆否命題的观点把原问题转化为只需证a+b≤0是f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）的什么条件，这和充分性证明的过程完全相同。故，a+b>0是f（a）+f（b）>f（-a）>f（-a）+f（-b）的充分必要条件。

通过上述若干实例发现，策略性错误（失误）与心理性错误、逻辑性错误和知识性错误不同，策略性错误可能是因为辨认与提取错误而导致解错，也可能是由于策略选择不当使求解过程过难过长，导致思维与时间上的浪费。

参考文献：

[1]戴再平.《数学习题理论》.上海：上海教育出版社，1996第二版

[2]张奠宙，过伯祥.《数学方法论稿》.上海：上海教育出版社，1996

[3]波利亚（美） 《怎样解题》.上海：上海科技教育出版社 2011