“数字信号处理”课程中双线性变换法的探讨

童晓兵，张玉明，徐以涛

(解放军理工大学通信工程学院，江苏南京 210007)

脉冲响应不变法和双线性变换法是“数字信号处理”课程中设计无限脉冲响应IIR(Infimite Impalse Response)数字滤波器的两种常用方法。脉冲响应不变法的优点在于变换前后频率不会发生畸变，缺点是幅度会发生混叠，不适合高通和带阻滤波器的设计。而双线性变换法的优点在于不会发生混叠，原因是频率变换关系把模拟频率的正负无穷大点变换到数字域的正负π。其缺点是变换前后频率会发生畸变［1，2］。学生在学习中往往对第一种方法比较清楚，对第二种方法不易理解，特别是对频率发生畸变这一点往往感觉比较抽象。本文将重点针对这个问题展开研究和讨论，让学生对双线性变换法中的频率畸变有一个直观认识［3，4］。

1 频率畸变的原因

双线性变换法设计数字滤波器会产生频率畸变的原因主要是因为模拟域转换为数字域的时候所采用的转换关系为

在这个转换关系中，模拟频率和数字频率成非线性的正切关系。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象，但导致了频率轴的失真，称为频率畸变［2］。这种频率畸变使得我们在设计模拟滤波器的时候，不能直接利用数字滤波器的技术指标进行设计，而是要利用公式:

我们首先将各频带的边缘频率预先加以畸变，再利用预畸后的频率设计模拟滤波器的传输函数Ha(s)，我们然后对Ha(s)进行双线性变换，从而得到所需要的数字滤波器传输函数H(z)。

2 频率畸变的深入讨论

在数字滤波器的教学过程中，学生往往对以下两个问题理解不够深刻:①如果不进行频率预畸，最后设计出来的数字滤波器的技术指标是多少?②如果进行了预畸，那么畸变后的模拟滤波器的技术频率是多少，最后设计出来的数字滤波器的技术指标是多少?

本文将通过实例来对比解决这两个问题。

［实例］:要求设计一个IIR数字低通滤波器，其通带截止频率为300Hz，阻带起始频率为400Hz，采样频率为1000Hz，通带的最大衰减为1dB，阻带的最小衰减为15dB。试用双线性变换法设计该数字滤波器。

1)不对技术指标进行预畸设计

直接用300Hz和400Hz这两个参数设计模拟滤波器，然后用双线性法设计数字滤波器，求解模拟滤波器和数字滤波器的通带和阻带截止频率分别是多少?

直接采用300Hz和400Hz不经过频率预畸而设计模拟滤波器得到的幅频响应如图1所示。图1(b)为图1(a)中椭圆圈内局部放大后的情况。我们通过放大的图形可见，-1dB和-15dB处对应的模拟频率为300Hz和400Hz。可以发现模拟滤波器的技术指标符合我们的要求。

图1 不经过频率预畸的模拟滤波器特性

图2是在上面的基础上，通过双线性变换法得到的IIR数字滤波器的幅度特性。图2(b)为图2(a)中椭圆圈内局部放大后的图形。我们通过放大后的图形可以发现，-1dB和-15dB处所对应的归一化数字频率大约为0.49和0.57，在采样频率为1000Hz的情况下，大约为245Hz和285Hz，这个结果显然不符合设计要求。这主要是由于双线性变换法使频率产生了畸变，根据公式 ω=(2/π)arctan(ΩTs/2)，于是可将模拟滤波器的300Hz和400Hz分别畸变为归一化的数字频率为0.481和0.572。在采样频率定为1000Hz的情况下，对应的模拟频率分别为240Hz和286Hz。由此可见，理论分析和仿真的结果基本一致。

图2 双线性变换法设计的数字滤波器的特性

2)模拟滤波器预畸变设计

我们先对滤波器的技术指标进行预畸处理设计模拟滤波器，再用双线性变换法设计数字滤波器，求解这种方法下模拟滤波器和数字滤波器的通带和阻带截止频率分别是多少?

图3是将300Hz和400Hz的频率经过预畸之后设计的模拟滤波器的幅频响应。图3(b)为图3(a)椭圆圈内局部放大后的情况。我们通过放大的图形可以看到，-1dB和-15dB处对应的模拟频率大约为430Hz和 980Hz，并不是我们要求的 300Hz和400Hz。这是由于300Hz和400Hz经过Ω=(2/Ts)tan(ω/2)的公式预畸之后分别为438Hz和979Hz。可见理论分析和仿真的结果基本一致。

图3 经过频率预畸的模拟滤波器特性

图4是通过双线性法转变得到的数字滤波器的幅度特性，其中图4(b)为图4(a)椭圆圈内局部放大后的图形。由图可知-1dB和-15dB处所对应的归一化数字频率分别为0.6和0.8。在采样频率为1000Hz的情况下，所对应的模拟频率分别为300Hz和400Hz。可见符合我们预期的设计要求。

图4 双线性变换法设计的数字滤波器的特性

3 两种变换方法的不同之处

在学习脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器的过程中，学生往往会发现这样一个不同:使用双线性变换法时，可以直接令z=eST。但是，在使用脉冲响应不变法的时候却不能直接令z=eST，这是什么原因?

实际上，z=eST反映的是采样信号的拉氏变换Ha(s)和序列的z变换之间的关系，即:

而模拟信号本身的拉氏变换Ha(s)和序列的z变换之间并没有这种关系。因此，在脉冲响应不变法中，从Ha(s)到H(z)并没有一个由s平面到z平面的简单代数映射关系，即没有一个s=f(z)的代数关系式。可见脉冲响应不变法得到的数字滤波器频响也不是简单的重现模拟滤波器频响。而是模拟滤波器频响的周期延拓，周期为Ωs=2π/Ts=2πfs。

4 结语

本文首先解释了“数字信号处理”课程中双线性变换法中频率畸变的原理和处理的办法，然后借助Matlab软件比较了不进行频率预畸和进行频率预畸两种情况下所设计出来的IIR数字滤波器的特性差别。我们通过这种定量的比较，可以使学生更加直观地掌握双线性变换法设计IIR数字滤波器中的频率畸变和频率预畸的概念，学会用IIR数字滤波器的设计方法，为实际工作打下良好的基础。

［1］徐以涛等.数字信号处理［M］.西安:西安电子科技大学出版社，2009

［2］胡广书.数字信号处理--理论、算法与实现［M］.北京:清华大学出版社，2003

［3］王玉德.“数字信号处理”课程的教与学的探讨［J］.南京:电气电子教学学报，2008，30(6):97-98

［4］栗学丽、刘琚.“数字信号处理”中分段卷积的教学探讨［J］.南京:电气电子教学学报，2011，33(2):102-104