二维周期介质阻带分析与应用研究

徐承亮+陈三龙

【摘 要】为了分析二维周期介质横向波的传播特性，根据已提出的二维周期介质分析方法，在给定纵向波传播的情况下，具体分析了波在横向上的传播特性，研究了阻带与介质调制系数的关系。分析了阻带的形成规律及其分布特性。通过时域有限差分数值计算方法对阻带分布特性进行了模拟和印证，结果符合预期，分析结果为微波、毫米波集成电路导波计、滤波器等微波器件设提供理论指导和数据支持。

【关键词】二维周期介质 介质波导阵列 阻带 通带 时域有限差分

[Abstract]In order to analyze the propagation characteristics of transverse wave in two-dimensional periodic medium based on the established rigorous theory for two-dimensionally periodic （2DP） medium， a great amount of numerical results for Dielectric Waveguide Array （DWA） were presented in this paper. Transverse Wave propagation in DWA was analyzed in detail. Firstly， given the longitudinal wave vector （kz）， Brillouin dispersion relations between transverse wave vectors were analyzed. Interactions between space harmonics were studied. Secondly， supposing transverse wave vectors （kx and ky） were identical， dispersion relations between transverse wave vectors and wave frequency were studied in detail. Because of interactions between space harmonics increasingly getting stronger with modulation coefficients increasing， stop-bands could be distinctly displayed and transverse wave propagation in DWA could be comprehensively analyzed. These results that stop-bands distributed and varied with modulation index varying were in good agreements with those derived from finite difference time domain method. Finally， the applications about transversal propagation in DWA were also discussed. These results can be basic of design of microwave or millimeter wave integrated circuit and some devices.

[Key words]Two-dimensionally periodic medium dielectric waveguide array stop-band pass-band Finite difference time domain

1 引言

对电磁波在周期介质或周期结构中传播特性的研究自上个世纪初开始就一直是学者们的热门课题[1]。周期介质/周期结构已广泛应用于微波集成电路、滤波器及天线辐射等方面，为了更好地理解周期介质/周期结构的一些物理特性和应用，周期介质/周期结构理论和数值计算有待发展和研究。

文獻[2]提出了一种分析二维周期介质/周期结构的解析理论，当将这种理论应用到一种二维周期介质-介质波导阵列（DWA）电磁特性分析时，数值计算比较简单和有效，能使DWA横向、纵向传播特性有效被分析，一些物理效应和应用容易理解和实现。DWA是介质分布在纵向上分布均匀，在横向上具有二维周期特性。DWA是一种比较典型的二维周期介质，在应用方面表现出调制系数容易调节的特性，能广泛应用于天线辐射、滤波和微波集成电路及导波器件等方面的设计[3-5]。

然而，一些电磁特性如阻带特性还有待进一步研究。利用该严格理论来分析DWA并非有想象的那么多，特别是当DWA应用到导波、辐射与扫描时，DWA的电磁带隙特性急需透彻理解。本文通过该严格理论，系统而深入分析DWA阻带分布特性，还对一些导波特性及其应用进行了讨论。首先研究了二维周期介质分析理论，而后重点讨论了横向色散关系，最后详细分析了阻带的形成、变化规律及其应用。

2 二维周期介质严格理论

设εr（x， y）是二维周期介质的介质分布函数，则：

εr（x+a， y+b）=εr（x，y） （1）

其中a、b分别为二维平面上x、y方向上的空间周期长度。根据Maxwell方程，二维周期介质中传播的电磁波的电场矢量E满足波动方程：

××E=k02εr（x，y）E （2）

根据Floquet定理，方程（2）可写成

（3）

其中方程（3）意义在文献6及文献7中有详细说明，它是一个齐次矩阵方程，计算简单而有效（请对公式（3）中的物理量进行说明）。矩阵形式为：

ME=0 （4）

显然M是特征矩阵，E代表电场特征向量。为了使特征方程（公式（4））具有非零解，特征矩陣对应行列式必须为零，即：

Det[M]=0 （5）

称公式（5）为色散关系方程，下面将用该色散方程来讨论DWA阻带形成及其分布特性。

3 DWA横向色散特性

利用色散方程（公式（5））来分析DWA的电磁波横向传播特性和色散关系。为了透彻理解横向色散特性，不妨就TM模式为例来分析，令调制系数（或εr4）变化，得到一系列色散关系如图1所示（假设在纵向上传）。

播常数为零，即kz=0，波在横向上以某角度q=tan-1（ky/kx）入射，当调制系数（可让εr4变化）从小到大变化时，空间谐波相互作用逐渐增强，阻带变得越来越大，结论和文献[1]—文献[7]符合。阻带的变大，意味着横向传播成份越来越少。因为随着调制系数（M=εr4/εr1，2，3）的增大，在阻带范围内横向传播波数（ky/kx）不再是实数，而是某一复数，出现的横向传播波数（ky/kx）是变为复数，则在该方向上波不断被衰减而截止，从而出现阻带。图1中细实线表示无扰动曲线，即调制系数为1的情形，属均匀介质色散曲线，此时εr1=εr2=εr3=εr4=1.0。粗实线为调制系数大于1情形，属二维周期介质色散曲线。

随着调制系数继续增大，空间谐波相互作用大大增强，色散曲线强烈背离无扰动曲线，阻带继续加大甚至使不同阻带合并成更大的阻带（如图1（c）所示），在图1（d）中εr4?5.8，横向波数全部为复数，显然，这种情况下，电磁波在各个方向（（x， y））上都被截止而不能传播。

4 阻带分布特性

在本节主要讨论波频率（或自由空间波数k0）和横向波数 （kx或ky）之间的色散关系。研究在给定二维周期介质物理模型情况下，阻带出现在哪些频段。在给定二维周期介质物理参数后，色散方程（5）是关于k0与kx、ky和kz的方程。为了方便讨论和理解，假设电磁波在二维平面上以q=tan-1（ky/kx）=45°入射，且kz=0，这样可通过色散方程（5）可讨论k0与kx=ky的关系。

显然，无扰动色散关系或均匀介质色散关系、二维周期介质色散关系，这些色散关系都可从色散关系方程（5）中推得。和图1表示相同，在作色散关系曲线图时，粗实线表示调制系数大于1时的情形，即表示二维周期介质色散关系。细实线表示的调制系数为1，即表示均匀介质色散关系。不妨设x和y方向上的空间周期长度相等，即a=b。

（1）m=0、n=0，εr1=εr2=εr3=εr4=1.0，由色散方程（5）可得：

2[kxa/（2p）]2=[k0a/（2p）]2 （5a）

即为无扰动色散曲线。

（2）m=-1、n=0或m=0、n=-1，εr1=εr2=εr3=εr4==1.0，由色散方程（5）可得

（kxa/（2p）-1）2+（kxa/（2p））2=[k0a/（2p）]2 （5b）

也为无扰动色散曲线。

（3）当m=-1、n=-1时同理可得：

2（kxa/（2p）-1）2 =[k0a/（2p）]2 （5c）

同样，随着εr4的增大，空间谐波相互作用逐渐增强，阻带开始出现，随后不断扩大，如图2（a）、（b）、（c）、（d）所示。为了更清楚看出详细变化规律，不妨计算其中较大-个阻带的详细归一化频率和变化值，如表1所示：

根据表1的计算数据，画出具体阻带分布曲线图如图3所示。从曲线图分析可知，随调制系数“M=εr4/εr1”的增大，阻带分布从高端逐步移向低端，如图3红、蓝实线所示。阻带宽度不断加大，当M=9.01时，阻带宽度达到最大值，如图3黑粗实线所示。当调制系数M再增大时，阻带频率下移，但阻带宽度几乎不变化，出现所谓“饱和现象”。显然，当需要阻带低频时可选调制系数较大情形，高频时则选调制系数较小的情况。

5 时域有限差分法数值分析

利用时域有限差分法将Maxwell方程进行中心差分得到一个差分方程组，根据该差分方程组可模拟电磁波在二维周期介质中的传播情形。根据文献[6]，在一个周期内，圆形或方形介质分布比例相同时周期特性是一致的，即可通过研究方形/圆形分布的周期特性来等效圆形/方形分布的周期特性。根据周期介质缺陷原理，在阻带范围内，如果周期介质中某局部出现缺陷，如图4（a）所示，该阻带内的波就可在缺陷中传播，未缺陷的仍无法传播。为了便于应用，本节运用时域有限差分法计算和模拟了圆形分布的二维周期介质电波传播过程，如图4（b）所示。由于阻带和缺陷导波特性，波沿L形缺陷路径传播，其他方向由于阻带特性而截止。这种导波特性对二维周期介质导波、辐射和微波、毫米波集成电路设计具有重要的指导价值和应用意义。图4中的调制系数M=er4/er1 =er4=11.51，归一化频率k0a/（2p）=0.32，位于阻带中心频率部位。介质εr4分布占一个周期内的1/4面积，表现出的阻带特性和正方形介质er4分布占的1/4面积是完全一致的[6]。

6 结论

对DWA阻带形成原因和阻带分布进行了数值计算和模拟，对DWA阻带及缺陷相互作用而形成的导波特性进行分析和研究，对其应用也做了讨论。

首先讨论了调制系数M不断增大，空间谐波作用增强，阻带逐渐加大的变化规律，得到了横向波数的色散关系。其次，探讨了假设在二维平面上以45°角入射时的导波特性，同样，随着调制系数的增大，阻带加大，阻带频段有向低频方向移动趋势，当调制系数M=9.01时，阻带宽度达到最大，再继续增大，阻带带宽几乎不再增大。最后选择了一个特例，利用电磁场数值计算方法-时域有限差分方法模拟了电磁波在二维周期介质及其缺陷态中传播特性，验证了阻带电磁特性，计算结果和结论一致。二维周期介质的阻带分布特性在微波、毫米波导波、辐射[8-9]及集成电路设计方面具有应用意义。

参考文献：

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