对初中数学问题的直观性实践

林松杰

摘要：如何提高学生对初中数学问题的认识，获得良好的数学教育是每位初中教师都在思考的问题，尤其是在面对学生比较难接受、难消化的函数和几何问题时，一种好的解题方法就显得至关重要。本文针对这些问题，从直观性角度出发，给学生提供一种别样的解题思路。

关键词：初中数学；直观性；符号；图像

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）03-0102

符号、图像、代数式、方程、解析式等都是数学语言的呈现形式，特别是图像、符号都比较直观地表现出数学中许多量之间的关系，在日常教学中，我们应该引导学生运用这些数学语言，直观地去发现数学问题，并解决此类问题。《数学课程标准》对于第三阶段的教学目标特别提到了“初步建立几何直观”，当然直观不是几何所特有，在“数与代数”领域也同样需要直观，这是对于“数学基本活动经验”的呈现形式之一。笔者根据教学素材有针对性的大胆尝试，在此以浙教版初中数学为内容，进行一些思考和尝试。

一、符号的直观性

学生对于数学中常用的符号要认识清楚，一些细小的变化就代表了不同的含义，特别是七年级新生对于绝对值、相反数、平方根、算术平方根的含义容易出现混淆，我们引入符号后就容易理解相互的区别和联系。

例. 七年级上册《3.1平方根》教学中，对于文字表述转化成数学语言表述强调就容易让学生理解，如“9的平方根是多少？4的算术平方根是多少？”可以尝试用再写一遍“±■=（ ），■=（ ）”这样就强调了平方根与算术平方根的区别与联系。

数学符号在“图形与几何”领域也存在很多，如垂直（⊥），平行（∥），直角（Rt∠），为了简洁点我们自己也可以创造一些符号，如角平分线（ ），等腰三角形（ ），从而把题目中的文字大大省略了。八年级上册等腰三角形复习时，常常对于“三线合一”的性质进行拓展，把这个命题的条件、结论进行变动，出现多个命题的证明，但是对于命题的真正运用不会强调，如果我们对于有些命题进行直观的符号表示，那对学生学习几何的意义就不一样了。如

+⊥ 表示“一个三角形中，一个内角的角平分线与对边的高重合，那么三角形为等腰三角形”，这一符号表达式就让学生对于两线重合图形一出现就能直观地找到等腰三角形，大大提高了对于图像的把握。

例. 在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点，求DE的长。

分析：AD是∠BAC的平分线，又是BD的高，如果延长BD交AC于F，则△ABF是等腰三角形，则D是BF的中点，DE是△CBF的中位线，即DE=1/2CF=1/2（AC-AB）。

我们可以在日常教学中尝试着试用符号法，让学生积累活动的经验。

1. 关系式的直观性

在初中数学的“数与代数”领域，代数式、方程、不等式、函数占了很大的比重，学生往往在解决问题方面有一定的难度，特别是要找出两个变量的变化规则，这时用图解法就能比较直观地分析出数量关系。因此对于数量关系的建立非常重要。

在初中数学一次函数应用中，学生经常会遇到分段函数的问题，那么该如何让学生体会到解析式与自变量的取值关系，自觉尝试用数轴来解决问题呢？特别是一些税收、医疗费、电费、水费等令学生望而生畏的问题，请数轴来帮忙可能会降低不少难度。

例. 公司员工的收入按规定要交所得税，标准如下：收入1000元以内不交税；收入超过1000元，而不超过1500元部分的税率是5%；收入超过1500元，不超过3000元部分的税率是10%。现在知道小李的月收入是1850元，小张的月收入是2750元，问小李和小张各应缴纳多少所得税。

分析：通过在数轴上展示工资与交纳的税率之间的关系，可以让学生一目了然。

上交税费 0元 0-25元 25-175元

解：小李：（1850-1500）×10%+25=60元

小张：（2750-1500）×10%+25=150元

答：小李上交60元，小张上交150元税费。

在题解的过程中用25元去代替工资中的1500元，从中让学生体会到分段函数的解析式与自变量范围的关系，从而找出这类问题的实质及解题方法。反之，已知某人上交税费数量去计算此人的工资，我们也可以通过上交税费的范围得出工资的范围。通过数轴的帮助形象直观地展示了工资与税费之间的关系。

例. 八年级下册《2.3一元二次方程的应用》教学过程中，对于例1的分析笔者作了图示法。

某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系。每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元。要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？

分析： 每盆株数 单株利润

基准 3 3

新的水平 （3+x）株/盆 y=（-0.5x+3）元/株

每盆盈利=（-0.5x+3）×（3+x）=10

图示法比较直观的分析出题意中所涉及的数量关系，同时也能直观地看出变量之间的关系，这一种方法同样在解决二次函数问题中非常有用，可以大大提高学生对于数学问题本质的理解，同时也可以根据图示中的信息对新的问题进行思考与拓展，发现新的数学问题。

2. 图像的直观性

函数图像能比较直观地反应两个变量之间关系，我们在函数教学中应该强调图像的作用，让学生从图像中去发现求二元一次方程组的解、一元一次不等式（组）的解、一元二次方程的解等问题与函数图像交点坐标之间的关系。

例. 九年级上册《1.3反比例函数的应用》教学中安排了用纯图像解决问题的例题。

如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=■的图像相交于A、B两点，

（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式

（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围；

分析：函数图像上的点坐标满足函数解析式，因此容易得到m=-2，则n=-2，由此得到A（-2，1），B（1，-2），再得到一次函数解析式。问题（2）的解决用图像就能直观地写出，-2

图像的直观性对于求比较复杂的方程解的个数或符号问题帮助更大，利用等式的性质对一些方程进行变式，转化成两个函数交点坐标问题。

例. 九年级上册《2.4二次函数应用3》教学内容

利用二次函数的图象求方程x2+x-1=0的近似解。

分析：（方案一）设y=x2+x-1，则方程的解就是该函数图像与x轴交点的横坐标。可以画出草图，求出近似解。

我们还可以引导学生进行思考，转化成更基本的函数模型，提出方案二，移项得x2=-x+1到设y1=x2，y2=-x+1，两个基本函数在同一坐标系中交点的横坐标的近似值就是原方程的近似解。自然还会产生方案三、方案四，我们可以让学生比较方案的最优化问题。

本题的讲解过程中，我们可以用几何画板软件进行辅助教学，直接在平面直角坐标系中进行操作，学生就可以直观地看到交点及方程解。

初中数学的学习是一种对数学现象的理解，有许多问题都是从表象中去发现数学问题及数学本质。我们应该大胆尝试，引导学生对数学问题进行直观的猜测和严密地推理，提高学生对数学问题的认识，获得良好的数学教育。

参考文献：

[1] 姚爱斐.数轴让解题更直观[J].中学数学教学参考：中旬，2009（11）.

（作者单位：浙江省慈溪市胜山初级中学 315300）