构造辅助函数在高等数学中的应用

段桂花

摘 要： 通过构造辅助函数解题是一种重要的高等数学方法.本文通过具体例子体现构造辅助函数在高等数学解题中的应用，同时对构造辅助函数解决的问题进行归纳，并总结构造辅助函数的步骤.

关键词： 构造辅助函数 高等数学 数学应用

构造函数思想是高等数学的一种重要的思想方法，在高等数学中具有广泛的应用，它属于数学思想方法中的构造.在数学解题中经常运用，但是如何构造辅助函数，始终是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多归纳总结.本文对高等数学中的几类问题，使用构造函数的方法求解，阐明了构造的思想方法.

一、通过对所构造辅助函数的研究，讨论方程根的情况

构造辅助函数用零点定理证明：若题设中仅有抽象函数连续的条件，或所给的方程是具体方程，此时应考虑用零点定理.构造辅助函数的方法是：通过移项，把方程的一端化为零，另一端即为所要构造的辅助函数（若结论是含有x的等式，则把ξ换成x）.

例1：试证方程x=asinx+b（a>0，b>0）至少有一个正根，并且它不超过a+b.

分析：构造一个辅助函数f（x）=x-asinx-b，对其在[0，a+b]上使用零点定理.

证明：设f（x）=x-asin-b，显然f（x）=x-asinx-b在[0，a+b]上连续，且f（0）=-b<0，f（a+b）=a[1-sin（a+b）]≥0.

当sin（a+b）]=1时，f（a+b）=0，则a+b就是方程的一个根.

当sin（a+b]<1时，f（a+b）=a[1-sin（a+b）]>0，此时f（0）与 f（a+b）异号，故由零点定理知，在（0，a+b）内至少存在一个点ξ，使得f（ξ）=0即ξ=asinξ+b.

故方程x=asinx+b（a>0，b>0）至少有一个根ξ，ξ∈（0，a+b）.

综上所述，方程x=asinx+b（a>0，b>0）至少有一个正根，并且它不超过a+b.

对于具体的方程或含n的等式，若构造的函数经验证不符合零点定理，即用零点定理证明失效时，则改用罗尔定理.此时，需寻找该函数的原函数f（x）作为所构造的辅助函数.

例2：证明：若■+■+...+■=0，則至少存在x■∈（0，1），使得a■+a■x■+...+a■x■■=0.

分析：问题仅在于构造一个辅助函数f（x）=a■x+■x■+...+■x■，对其在[0，1]上使用罗尔定理.

证明：设f（x）=a■x+■x■+...+■x■，显然f（0）=f（1）=0；且f（x）在[0，1]上连续，（0，1）上可导，由罗尔定理知，至少存在x■∈（0，1），使得f′（x■）=0，即a■+a■x■+...+a■x■■=0.

二、通过对所构造辅助函数的研究，讨论中间值的存在性

例3：设b>a>0，证明存在ξ∈（a，b）使得blna-alnb=（b-a）（lnξ-1）.

分析：要证中间值的存在性，显然要用中值定理.关键是要构造怎样的一个辅助函数，对其应用中值定理.

要凑出f（b）-f（a）的形式，把等式blna-alnb=（b-a）（lnξ-1）变形为■=lnξ-1，很显然，要对函数■，■在[a，b]上应用柯西中值定理.

证明：设f（x）=■，g（x）=■，显然f（x），g（x）在[a，b]上满足柯西中值定理的条件，所以ξ∈（a，b）存在使得■=■，

即■=■=lnξ-1，

故有blna-alnb=（b-a）（lnξ-1），ξ∈（a，b）.

三、通过对所构造辅助函数的导数讨论，证明恒等式或者不等式

例4证明：设n为正整数，求证：■

分析：由于ln（1+■）=ln（n+1）-lnn，因此可以在区间上[n，n+1]对lnx应用拉格朗日中值定理，再利用中值间的性质进行证明.

证明：设f（x）=lnx，在[n，n+1]上，由拉格朗日中值定理知，？埚ξ∈（n，n+1），使得f′（ξ）=■，即■=ln（1+■）.

由于ξ∈（n，n+1），故有■<■<■，

从而有■

利用辅助函数证明有关命题时，关键是认真分析，巧妙构造适当辅助函数，而恰当地辅助函数要根据命题的结论的具体形式及有联系的定理构造.当然，构造辅助函数解题的技巧性还有很多方面，有待我们进一步探索和总结.

参考文献：

[1]陈传章等编.数学分析上册（第2版）.北京：高等教育出版社，1983，7.

[2]华东师范大学数学系编.数学分析上册（第3版）.北京：高等教育出版社，2001，6.

[3]四川大学数学学院高等数学教研室编.高等数学第一册（第4版）.北京：高等教育出版社，2009，12.

[4]闫晓红等编.数学分析全程导学及习题全解（上）.北京：中国时代经济出版社，2006，2.

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