发现—归纳—猜想—证明

季新宇

摘 要： 在传统教学过程中，教师经常说“请认真听，请注意听”，殊不知“听”在学生的脑海中留下的痕迹是模糊的、不深刻的.面对“老师难教，学生难学”的现状，作者以“发现—归纳—猜想—证明”为主脉络组织教学，鼓励学生积极思考、探索，不断地让他们体验成就感，走出了“教”和“学”的两难境地.

关键词： 发现 归纳 猜想 证明

美国心理学家布鲁纳说过：我听了，我就忘了；我看了，我就记住了；我做了，我就理解了.在传统的教学过程中，教师经常说“请认真听，请注意听”，殊不知“听”在学生的脑海中留下的痕迹是模糊的、不深刻的，不久即忘了，于是又强调“做”，“题山”也就必然出现在学生面前，在教学过程中本该予以强调的“思维、探索、体验”被索之高阁，弃而不用.我在组织学生进行《三角函数》的学习过程中，面对“老师难教，学生难学”，我以“发现—归纳—猜想—证明”为主脉络组织教学，鼓励学生积极思考、探索，不断地让他们体验成就感，走出了“教”和“学”的两难境地，取得了良好的教学效果，形成了自己的教学理念.

一、引导学生运用已有的知识和经验，让他们主动探索知识的产生与发展

问题的引入：1、在一个30°的斜坡上，铺设水管，并建造如图中的支架，问（1）铺设的水管为100米时，支架高度多少米？（2）铺设水管为200米时，支架高度为多少米？（3）若支架高度为150米时，铺设水管为多长？（4）支架的高度与铺设水管之间有什么关系？

学生根据已有的知识寻求到答案，（1）为支架高为50米；（2）支架高为100米；（3）水管长为300米；（4）支架的高度是水管长度的一半，其依据为直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.

将30°分别改为45°，60°等情况予以研究，学生不难得出，这些角所对的直角边与斜边之比为一定值.

二、通过猜想进一步拓展知识

若这一角度是锐角呢？让学生充分想象，学生不难得出如图中：■=■，进而得出在直角三角形中，当∠A固定不变时，∠A所对的直角边与斜边之比为一定值.

三、让学生从证明猜想的过程中体验成功的喜悦

学生已掌握了相似三角形的判定和性质，得出△ABC∽△ADE，从而证明了■=■猜想的正确性，体验到成就感.此时启发学生思考：在图中还有哪些线段成比例，学生容易得出：■=■，■=■，■=■，总结出：在直角三角形中，当锐角A固定不变时，■、■、■、■均为定值，为了进一步研究方便，我们分别予以定义为正弦，余弦，正切和余切.

四、注重知识的产生和发展过程

“一个锐角的正弦（或余弦）同它的余角的余弦（或正弦）相等的教学活动中”，我先让学生运用定义求出sin30°=■，sin60°=■，cos30°=■，cos60°=■，再观察总结：sin30°=cos60°，cos30°=sin60°，提问：30°和60°的角是什么关系？（互余）拓展猜想：一个锐角的正弦（或余弦）同它的余角的余弦（或正弦）什么关系？（相等）；运用定义再进行证明，转化为表达式：sinA=cos（90°-A）；cosA=Sin（90°-A）.

五、激励学生活学活用，不拘泥于书本

以sinA=cos（90°-A），cosA=sinA（90°-A）为基本知识点的有这样基本题例：将下列各角的正弦（或余弦）转化为余弦（或正弦），书中的例题的解答是这样的：

sin20°=sin（90°-70°）=cos70°

cos35°15，=cos（90°-54°45′）=sin54°45′

我让学生阅读此例，思考是否还有其他方法，并分组进行讨论.这时有几个小组发现了一种新的解法：

sin20°=cos（90°-20°）=cos20°

cos35°15′=sin（90°-35°15′）=sin54°45′

哪一种解法最优呢？赞成书上的解法的同学寥寥无几，而解法二得到了认同.我进一步提问：解法2优在何处？一个学生说：书中的解法是公式的反用，难以理解sin20°=sin（90°-70°） cos35°15′=cos（90°-54°45′），要写出这两式子都必须先写出20°，35°15′的余角，很不方便；而解法二中是公式的正用，是不需要计算20°，35°15′的余角，所以最优.这学生的发言博得满堂彩.

六、 从“笑话”中汲取知识

在讲解正切，余切的定义时，我说到■的值叫∠A的正切，■的值叫∠A的……此时一位学生脱口而出：倒切.哄笑过后，我问那个学生：为什么认为是倒切呢？他说：■和■互为倒数，既然■是正切，那么显然■叫倒切了.这个学生说明他定义“倒切”的理由时，显而易见地引导其他学生注意到了正切和余切的倒数关系.

参考文献：

[1]中学教学（数学）.2011.

[2]数学课程标准（实验稿）.

[3]郭思乐著.漫话数学归纳法.