奇异超线性和次线性n阶m点边值问题的非平凡解

谢 静

(沈阳化工大学 数理系, 辽宁 沈阳 110142)

在非线性常微分方程边值问题非平凡解存在性的研究中,很多作者在各种文献中对非线性函数赋予了各种条件,利用不同的理论获得了其非平凡解的存在性[1-11].在文献[4]中研究了n阶m点边值问题：

(H1)a:(0,1)→[0,+∞)连续且a(t)≠

(H2)f:(-∞,+∞)→(-∞,+∞)连续;

1 准备知识

K(t,s)=k1(t,s)+k2(t,s),

(3)

k1(t,s)=

引理2[4]令D<1,格林函数K(t,s)定义如式(3),则其满足:

(i)K(t,s)≥0连续,∀t,s∈[0,1];

(ii)K(t,s)≤K(s),∀t,s∈[0,1],并且存在常数γ>0,使得

其中：当s=0时,K(s)=0；当s≠0时,

K(s)=k1(τ(s),s)+k2(1,s),

且K(s)≤A(1-s)n-1,其中

由引理2易知：

2) 当t∈[η1,1]时,γK(s)≤K(t,s)≤K(s),故0<γ≤1;

3) 当s=0,1时,K(s)=0;当s∈(0,1)时,K(s)>0.

P={u∈C[0,1],u(t)≥0,t∈[0,1]},

显然P是C[0,1]中的一个锥.令Br={u∈C[0,1],‖u‖0)是C[0,1]中以为r半径的开球，作如下假设:

(H2)f:(-∞,+∞)→(-∞,+∞)连续;

设(Tu)(t)=

(4)

(Au)(t)=

(5)

其中,K(t,s)定义如式(3).

引理3 假设(H1)、(H2)满足,则

A:C[0,1]→C[0,1]是全连续算子.

证明略.

很明显,如果算子A存在不动点u,则u是n阶m点边值问题(1)-(2)的解.

引理4 假设(H1)、(H2)都满足,则对于算子T(由式(4)定义)满足:

(i)T:C[0,1]→C[0,1]是全连续算子且T(P)⊂P;

(ii) 谱半径r(t)≠0且T存在一个相应于第一特征值λ1=(r(T))-1的正的特征函数.

证明方法类似于参考文献[2].

(i) 如果‖Au‖≥‖u‖,∀u∈∂Ω,则deg(I-A,Ω,θ)=0.

(ii) 如果θ∈Ω,‖Au‖≤‖u‖,∀u∈∂Ω,则deg(I-A,Ω,θ)=1.

2 主要结论

定理1 假设条件(H1)和(H2)满足,如果存在常数b≥0,使得

f(u)≥-b,∀u∈(-∞,+∞),

(6)

(7)

(8)

其中：λ1是算子T的第一特征值,则n阶m点边值问题(1)-(2)至少有一个非平凡解.

证明 由(7)式可知,存在r1>0,使

f(u)≥λ1|u|, ∀|u|≤r1.

(9)

0,t∈[0,1],

λ1(Tu)(t),t∈[0,1].

(10)

设A在∂Br1上没有不动点(否则,证明已完成).令u*是T的相应于λ1的正特征函数,即u*=λ1Tu*,下面证明：

u-Au≠μu*, ∀u∈∂Br1∩P,μ≥0.

(11)

如果存在u1∈∂Br1∩P和τ0≥0,使得u1-Au1=τ0u*,则τ0>0且u1=Au1+τ0u*≥τ0u*.令

τ*=sup{τ|u1≥τu*|},

(12)

很容易看出τ*≥τ0>0且u1≥τ*u*.又因为T(P)⊂P,则λ1Tu1≥τ*λ1Tu*=τ*u*.

由(10)式可得：u1=Au1+τ0u*≥λ1Tu1+τ0u*≥τ*u*+τ0u*=(τ*+τ0)u*.这与τ*的定义相矛盾,因此(11)式成立.

deg(I-A,Br1,θ)=

i(A,Br1∩P,P)=0.

(13)

f(u)≤σλ1u, ∀u≥r2.

(14)

设T1u=σλ1Tu,t∈C[0,1],则T1:C[0,1]→C[0,1]是有界线性算子且T1(P)⊂P.令

(15)

显然M<+∞.令

(16)

下面证明ω是有界的.

(T1u)(t)+M,

其中M由(15)式定义.因此((I-T1)u)(t)≤M,∀t∈[0,1].

又因为T1(P)⊂P,则(r(T1))-1(P)⊂P,因此有u(t)≤(I-T1)-1M,t∈[0,1],并且ω是有界的.

i(θ,Br3∩P,P)=1.

(17)

这是个矛盾.由拓扑度的同伦不变性及(17)式有：

deg(I-A,Br3,θ)=

deg(I-H(0,·),Br3,θ)=

deg(I-H(1,·)，Br3,θ)=

(18)

由(13)和(18) 式有：

deg(I-A,Br3,θ)-

deg(I-A,Br1,θ)=1.

故n阶m点边值问题(1)-(2)至少有一个非平凡解.

定理2 假设条件(H1)和(H2)满足,如果存在常数b≥0,使得

f(u)≥-b,∀u∈(-∞,+∞);

(19)

(20)

(21)

其中λ1是算子T的第一特征值,则n阶m点边值问题(1)-(2)至少有一个非平凡解.

证明 由(21)式可知,存在ε>0,当u足够大时,使得f(u)≥(λ1+ε)u.

由(19)式可知,存在b1>b≥0,使得

f(u)≥(λ1+ε)u-b1,∀u∈(-∞,+∞).

(22)

令R1>

其中γ由引理2给出.

令u*是算子T相应于第一特征值λ1的正特征函数,则

u*=λ1Tu*.

(23)

从而T(P)⊂P1.由(23)式可知,u*∈P1.假设A在∂BR1上没有不动点(否则,已证).

下面证明：

u-Au≠τu*,∀u∈∂BR1,τ≥0.

(24)

若存在u1∈∂BR1,τ1>0,使得u1-Au1=τ1u*.

由(22)式可知：

τ1u*(t).

(25)

因为b1>b>0,故f(u1(s))+b1>0.又因为T(P)⊂P1,u*∈P1,则

(26)

由(22)、(26)式及引理2得：

从而由(25)、(26)式可知：

(27)

(28)

由引理7可知：

deg(I-A,BR1,θ)=0.

(29)

由(20)式可知,存在0

定义T1u=λ1Tu,u∈[0,1],故|(Au)(t)|≤λ1(Tu)(t)=(T1u)(t),即

|Au|≤T1u

(30)

且T1:C[0,1]→C[0,1]是线性全连续算子,T1(P)⊂P,r(T1)=1.

下证Au≠τu,∀u∈∂BR2,τ≥1.

(31)

否则,若存在u2∈∂BR2,τ2≥1,使得Au2=τ2u2,假设τ2>1(若τ2=1,得证).

由引理8可知：

deg(I-A,BR2,θ)=1.

(32)

由(27)和(32)式,有

deg(I-A,BR1,θ)-

deg(I-A,BR2,θ)=0-1=-1.

定理3 假设条件(H1)～(H3)都满足,如果存在常数b≥0,使得

f(u)≥-b, ∀u∈(-∞,+∞),

(33)

(34)

其中λ1是T的第一特征值,如果存在r0>0,使得f(u)<ηr0,-r0

(35)

则n阶m点边值问题(1)-(2)至少有一个非平凡解.

证明：由(33)式可知,存在0

由(34)式可知,存在ε>0,R1>r0,当u>R1时,f(u)≥(λ1+ε)u.

假设A在∂Br1和∂BR1上没有不动点(否则已证).

由(13)式可知:

deg(I-A,Br1,θ)=0.

另外由定理2及(29)式可知:

deg(I-A,BR1,θ)=0.

∀u∈∂Br0,由(35)式和引理2可知：

则‖Au‖≤‖u‖.由引理9得deg(I-A,Br0,θ)=1,因此

deg(I-A,Br1,θ)=1;

deg(I-A,Br0,θ)=1.

3 结 论

受文献[1-3]的启发讨论了奇异超线性和次线性n阶m点边值问题,即

在满足(H1)(H2)(H3)的条件下,结合线性全连续算子的第一特征值条件,运用锥上的拓扑度理论,得出非平凡解存在的结果.其中

(H2)f:(-∞,+∞)→(-∞,+∞)连续;

这里允许a(t)在t=0和t=1奇异且f不必是非负的,这一工作可看作是文献[4-5]相应n阶m点边值问题正解存在性结论的推广.下一步的工作设想:假设条件(H1)～(H3)满足,如果存在常数b≥0,使得

f(u)≥-b,∀u∈(-∞,+∞),

其中λ1是算子T的第一特征值,用拓扑度理论研究n阶m点边值问题(1)-(2)至少有两个非平凡解.

参考文献：

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