二次函数在高中数学学习中的应用

樊春利

摘要：初中数学教材对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部分内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对二次函数的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活运用，因此，我们还要深入学习二次函数。

关键词：二次函数；高中数学；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）02-0100

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知f（x）= 2x2+x+2，求f（x+1）

这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）

这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。

f（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2-6x+6

（2） 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1 ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6从而f（x）= x2-6x+6

二、二次函数的单调性、最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（-∞，-■]及[-■，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y=x2+2|x-1|-1；（2）y=|x2-1| ；（3）y= x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ：设f（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。

求：g（t）并画出y=g（t）的图象

解：f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2

当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2

当t>1时，g（t）=f（t）=t2-2t-1

当t<0时，g（t）=f（t+1）=t2-2

g（t）=t2-2，（t<0）

g（t）=-2，（0≤t≤1）

t2-2t-1，（t>1）

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

三、二次函数的知识可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅴ：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0

（Ⅰ）当X∈（0，x1）时，证明X

（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0<■ 。

解题思路：

本题要证明的是x

（Ⅰ）先证明x

因为00，又a>0，因此f（x） >0，即f（x）-x>0。至此，证得x

根据韦达定理，有 x1x2=■∵ 0f（0），所以当x∈（0，x1）时f（x）

（Ⅱ） ∵f（x）=ax2+bx+c=a（x+■）2+（c- ■ ），（a>0）

函数f（x）的图象的对称轴为直线x=-■ ，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-■，因为x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-■，∵x2-■<0，

∴x0=-■=■（x1+x2-■）<■，即x0=■。

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

（作者单位：广西来宾市忻城县高级中学 546200）