利用Origin分析弦振动形成驻波的规律

李生仁 白琼燕 杨军 李春望

摘 要 本文通过波动方程和对弦上某一微小段的运动理论分析，推导出弦振动形成驻波时波长、弦中张力、频率和弦线密度之间的关系。同时借助XZDY-B型均匀弦振动仪，获得大量的实验数据，并在Origin环境下对数据进行系统的拟合处理，做出了数据间的关系图，使实验数据可视化和信息化，使弦振动形成驻波的规律更为直观，更容易理解。

关键词 弦振动 驻波 Origin 线性拟合

中图分类号：O4-39 文献标识码：A

Analysis of Vibrating String Standing Wave Formed by Origin

LI Shengren， BAI Qiongyan， YANG Jun， LI Chunwang

（Chongqing Xiushan Senior High School， Chongqing 409900）

Abstract In this paper， analyzing the movement of the tiny sport on string section through wave equation in theory， deriving the relationship among the wavelength， the string tension， frequency and the density of strings when standing wave forms. Meanwhile， with evenly string vibration tester XZDY - type B， obtaining a lot of experimental data. And processing the data under the environment of Origin fitting processing system， making the data relationship chart to enable experimental data visualization and informationization， the law that formed standing wave audio-visual and easier to understand.

Key words string vibration； standing wave； origin； linear fitting

0 引言

驻波可以由两列具有相同频率、恒定相位差、振动方向一致的行波在同一直线上沿相反方向传播叠加形成。利用XZDY-B型均匀弦振动仪，固定金属弦线，使通电的金属弦线在磁场中受到安培力的作用能够振动，振动产生的波形从金属弦线的一端传到另一端时，由于端点是固定的，波形能够被反射回来，反射回来的波形和新产生的波形，在满足一定条件时就能形成最直观、最简单的驻波。两列波叠加后形成驻波，其驻波为 = + ，

即， = 22 （1）

1 弦振动形成驻波规律的理论分析

由（1）式得，两列波叠加后，弦上个点继续做同频率的简谐振动，驻波的振幅为∣22∣，振幅与时间无关，与质点的位置有关。

由于波节处振幅为零，即2= （2 + 1）（ = 0，1，2，3，…）可求得波节的位置： = （2 + 1），则两个相邻波节之间的距离为： = 。

由此在研究弦振动形成驻波的规律时，只需要测量相邻波节之间的距离就可求得驻波的波长。

在XZDY-B型均匀弦振动仪中，劈尖处的弦线不会振动，一定是驻波的波节。由此，在实验中要想形成驻波，两个劈尖之间的距离必须等于半个波长的整数倍。即， = （ = 0，1，2，3，…），是两个劈尖之间的距离。

则原波的波长为： = （2）

根据波长、频率和波速之间的关系可得：

= = （ = 0，1，2，3，…） （3）

波在张紧的弦线上沿轴正方向传播，取，之间微小一段进行分析。假设实验中所用弦线的线密度（即单位长质量）为，则此段弦线的质量为。两端受到左右邻段的张力分别为、，其方向为沿弦线的切线方向与轴的夹角为、，如图1。

图1 ds段弦受力示意图

由于弦线上传播的行波在轴方向无振动，所以作用在微小段上的张力在轴方向的分量应该为零，即：

= 0 （4）

在方向微分段的运动方程为：

= （5）

对于微小的振动，可取 = ，并且、都很小，所以 = 1， = 1， = ， = 。又从导数的几何意义可知 = ， = ，（4）式将成为 = 0，即 = = 表示张力不随时间和地点而变，为一定值。则（5）式将化简为：

= （6）

将按泰勒级数展开并略去二级微量，

得， = + ，将此式代入（6）式，

得， = （7）

将（7）式中与简谐波的波动方程 = 相比较可知：在线密度为、张力为的弦线上，横波传播速度的平方等于： =

即， = （8）

由（3）式和（8）式可得：

= = （ = 0，1，2，3，…） （9）

对于线密度、长度l和张力T一定的弦，其弦振动传播形成驻波时的频率不只一个，包括相当于 = 1、2、3、……的、、、……等多种频率。

给（9）式两侧取对数，得：

= （10）

因此，要想让弦振动传播形成驻波，必须使得波长、张力、频率 和线密度满足 （10）式。

2 实验过程及数据的Origin处理

2.1 弦振动形成驻波的实验数据

调节好XZDY-B型均匀弦振动仪，分别测量张力一定和频率一定条件下相关的物理量。

（1）在同一条弦上，张力 = 49.72N时，调节频率当弦线上出现一段驻波和两段驻波时，测量劈尖之间的距离，根据（9）式计算得到平均波长，记录数据见表1。

表1 张力一定时波长与频率 的实验数据测量表

（2）在同一条弦上，当频率 = 100HZ时，调节张力当弦线上出现一段驻波和两段驻波时，测量劈尖之间的距离，根据（9）式计算得到平均波长，记录数据见表2。

表2 频率一定时波长 与张力的实验数据测量表

（注：西安市的重力加速度值为： = 9.79684m/s2）

2.2 Origin对数据的拟合分析

Origin 软件中对实验数据的拟合分析是一种特殊的曲线拟合，本次使用的拟合函数是 = 。通过给定的自变量和因变量，可求出和的值。

图2 与变化关系图

（1）打开Origin软件后，界面上将出现空白的两列表格、，分别输入 “表1”中 和的数据。分别选中这两列，点右键Set colume values，通过公式将和的值分别变为 和。我们将作为横坐标轴的数据，作为纵坐标轴的数据，通过Origin软件进行线性拟合，结果如图2所示，拟合分析报告如图3所示。

图3 Origin软件线性拟合分析结果

由图2和图3可知，- 图像可以近似为一条直线，求得其斜率为-1.01737，非常接近-1。

图4 与变化关系图

（2）在Origin环境下，将“表2”中和的数据分别输入表格、。分别选中这两列，点右键Set colume values，通过公式将和的值分别变为和。我们将作为横坐标轴的数据，作为纵坐标轴的数据，通过Origin软件进行线性拟合，结果如图4，拟合分析报告如图5 。

图5 Origin软件线性拟合分析结果

由图4和图5可知，- 图像可以近似为一条直线，求得其斜率为0.50021，非常接近。

2.3 实验规律的总结及推广

式（12） = 表明，在同一条弦上形成驻波时，和、 之间存在线性关系。

若固定弦上张力，而改变原波频率，和 之间成正比例关系，比例系数为-1；由表1、图2和图3可知， 图像可以近似为一条直线，求得其斜率为-1.01737。因此实验证明了，与 成正比例关系，验证了与1/ 成正比例关系。在同一条弦上，若固定弦上张力，在某一频率下，测出段驻波各对应的弦长，各弦长：：…：： = ：：…：2：1。

若固定原波频率，改变弦上张力，和之间成正比例关系，比例系数为0.5；由表2、图4和图5可知，图像可以近似为一条直线，求得其斜率为0.50021。因此实验证明了，和与成正比例关系，验证了与成正比例关系。在同一条弦上，若固定原波固定结果频率，在某一张力下，测出段驻波各对应的弦长，各弦长：：…：： = ：：…：2：1。

3 结论

（1）本文从波动方程入手，推导出弦振动时产生驻波的方程；分析产生驻波时弦上某一微小段的受力情况，得出弦振动形成驻波时，波长、弦中张力、频率和弦线密度之间满足的关系。（2）通过对大量实验数据进行分析，验证了弦振动形成驻波时，波长、弦中张力、频率和弦线密度之间满足的关系；并总结出弦振动时驻波波长与张力，波长与振动频率的规律。同时利用Origin软件处理数据和作图，使实验数据可视化和信息化，使实验规律更加形象化。（3）在实验过程中实验比例关系，可以利用以上总结的规律，来及时检验所测数据的可靠性。实验测量过程中如果出现不符合此规律的数据，可以及时分析导致此结果的原因，有效避免因操作不当而记录错误数据。

参考文献

[1] 刘东红.弦振动驻波分析.大学物理实验，2002.15（1）.

[2] 苗琨，黄育红，李康，宋翠.弦振动形成驻波的规律和数据的MATLAB处理.大学物理实验，2010.23（4）.

[3] 周剑平.Origin实用教程（7.5版）[M].西安交通大学出版社，2007.